Para cada uma das funções listadas abaixo, calcule os seguinte limites:
(d) , Faça primeiro para e e depois conjecture o resultado do limite para qualquer.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Temos a função e precisamos calcular dois limites:
Esses limites são importantes porque representam a definição da derivada da função . Vamos calcular esses limites para , e e depois ver se conseguimos perceber um padrão para qualquer .

Passo 2

Vamos começar com . Nossa função fica .
Primeiro, calculamos o limite:
Para resolver esse limite, vamos simplificar a expressão:
Perceba que , então substituindo:
Agora, cancelamos e substituímos por :

Passo 3

Agora, para , temos .
Calculamos o limite:
Simplificando:
Sabemos que , então:
Cancelando e substituindo por :

Passo 4

Para , a função é .
Calculamos o limite:
Simplificando:
Sabemos que , então:
Cancelando e substituindo por :

Passo 5

Agora, vamos observar os resultados obtidos:
  • Para :
  • Para :
  • Para :
Parece que o padrão é que o limite resulta em para cada valor de .

Resposta

Portanto, para qualquer , o limite é:
E:

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Para cada uma das funções listadas abaixo, calcule os seguinte limites:
(g)
Para cada uma das funções listadas abaixo, calcule os seguinte limites:
© , Faça primeiro para e e depois conjecture o resultado do limite para qualquer.
Resolva a equação diferencial dada através de uma série de potência em torno do ponto dado. Encontre a relação de recorrência; encontre também os quatros primeiros termos em cada uma das duas soluções linearmente independentes (a menos que a série termine antes).
(b)
Para cada uma das funções listadas abaixo, calcule os seguinte limites:
(h)