Para cada uma das funções listadas abaixo, calcule os seguinte limites:
(d)
, Faça primeiro para
e
e depois conjecture o resultado do limite para
qualquer.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Temos a função
e precisamos calcular dois limites:
Esses limites são importantes porque representam a definição da derivada da função
. Vamos calcular esses limites para
,
e
e depois ver se conseguimos perceber um padrão para qualquer
.
Passo 2
Vamos começar com
. Nossa função fica
.
Primeiro, calculamos o limite:
Para resolver esse limite, vamos simplificar a expressão:
Perceba que
, então substituindo:
Agora, cancelamos
e substituímos
por
:
Passo 3
Agora, para
, temos
.
Calculamos o limite:
Simplificando:
Sabemos que
, então:
Cancelando
e substituindo
por
:
Passo 4
Para
, a função é
.
Calculamos o limite:
Simplificando:
Sabemos que
, então:
Cancelando
e substituindo
por
:
Passo 5
Agora, vamos observar os resultados obtidos:
- Para
: - Para
: - Para
:
Parece que o padrão é que o limite resulta em
para cada valor de
.
Resposta
Portanto, para qualquer
, o limite é:
E:
Exercícios relacionados
Para cada uma das funções listadas abaixo, calcule os seguinte limites:
(g)
Para cada uma das funções listadas abaixo, calcule os seguinte limites:
©
, Faça primeiro para
e
e depois conjecture o resultado do limite para
qualquer.
Resolva a equação diferencial dada através de uma série de potência em torno do ponto
dado. Encontre a relação de recorrência; encontre também os quatros primeiros termos em cada uma das duas soluções linearmente independentes (a menos que a série termine antes).
(b)
(b)
Para cada uma das funções listadas abaixo, calcule os seguinte limites:
(h)