Para cada uma das funções listadas abaixo, calcule os seguinte limites:
lim x a f(x)-f(a)x-a lim h 0 f(x+h)-f(x)h
(d) f(x)=1x^n, Faça primeiro para n=2, n=3 e n=4 e depois conjecture o resultado do limite para n qualquer.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Temos a função e precisamos calcular dois limites:
Esses limites são importantes porque representam a definição da derivada da função . Vamos calcular esses limites para , e e depois ver se conseguimos perceber um padrão para qualquer .

Passo 2

Vamos começar com lim x a f(x)-f(a)x-a = lim x a 1x^2 - 1a^2x - a . Nossa função fica 1x^2 - 1a^2x - a = a^2 - x^2x^2a^2(x - a) .
Primeiro, calculamos o limite:
-(x - a)(x + a)x^2a^2(x - a) = -(x + a)x^2a^2
Para resolver esse limite, vamos simplificar a expressão:
-(a + a)a^2a^2 = -2aa^4 = -2a^3
Perceba que , então substituindo:
Agora, cancelamos e substituímos por :

Passo 3

Agora, para lim x a 1x^3 - 1a^3x - a , temos a^3 - x^3x^3a^3(x - a) .
Calculamos o limite:
-(x - a)(x^2 + xa + a^2)x^3a^3(x - a) = -(x^2 + xa + a^2)x^3a^3
Simplificando:
-(a^2 + a cdot a + a^2)a^3a^3 = -(3a^2)a^6 = -3a^4
Sabemos que , então:
Cancelando e substituindo por :

Passo 4

Para lim x a 1x^4 - 1a^4x - a , a função é a^4 - x^4x^4a^4(x - a) .
Calculamos o limite:
-(x - a)(x^3 + x^2a + xa^2 + a^3)x^4a^4(x - a) = -(x^3 + x^2a + xa^2 + a^3)x^4a^4
Simplificando:
-(a^3 + a^3 + a^3 + a^3)a^4a^4 = -4a^3a^8 = -4a^5
Sabemos que , então:
Cancelando e substituindo por :

Passo 5

Agora, vamos observar os resultados obtidos:
  • Para :
  • Para :
  • Para :
Parece que o padrão é que o limite resulta em para cada valor de .

Resposta

Portanto, para qualquer lim x a f(x)-f(a)x-a = -na^n+1 , o limite é:
lim h 0 f(x+h)-f(x)h = -nx^n+1
E:

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