Para cada uma das funções listadas abaixo, calcule os seguinte limites:
©
, Faça primeiro para
e
e depois conjecture o resultado do limite para
qualquer.
Passo 1
Então, a gente tem duas expressões de limite para calcular relacionadas à função
. Estamos trabalhando com cálculo diferencial, especificamente com a definição de derivada. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular limites e aplicar a definição de derivada para diferentes valores de
. Vamos começar calculando para
, depois para
e
, e depois ver qual padrão aparece para qualquer
.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o limite
para
. Aqui,
.
Então, substituindo na expressão:
Passo 3
Para resolver esse limite, vamos multiplicar o numerador e o denominador pelo conjugado do numerador para simplificar. O conjugado de
é
.
Passo 4
Agora, podemos cancelar
no numerador e denominador:
Passo 5
Então, para
, o limite é:
Passo 6
Agora, vamos calcular o segundo limite
para
.
Substituindo na expressão:
Passo 7
Usando a mesma técnica de multiplicar pelo conjugado:
Passo 8
Cancelando
:
Passo 9
Portanto, para
, os dois limites resultam em:
Passo 10
Vamos repetir o processo para
. Aqui,
.
Primeiro limite:
Passo 11
Multiplicando pelo conjugado adequado, que no caso de raízes cúbicas é um pouco mais complicado, mas seguimos o mesmo princípio:
Passo 12
Segundo limite para
:
Passo 13
Aplicando a mesma técnica:
Passo 14
Portanto, para
, os limites são:
Passo 15
Agora, para
,
.
Primeiro limite:
Passo 16
Multiplicando pelo conjugado adequado:
Passo 17
Segundo limite para
:
Passo 18
Aplicando a mesma técnica:
Passo 19
Portanto, para
, os limites são:
Passo 20
Observando os resultados para
, percebemos que:
Resposta
Para a função
, os limites são:
e
Exercícios relacionados
Para cada uma das funções listadas abaixo, calcule os seguinte limites:
(f)
, Sugestão: Use a seguinte identidade:
Para cada uma das funções listadas abaixo, calcule os seguinte limites:
(b)
, Faça primeiro para
e
e depois conjecture o resultado do limite para
qualquer.
Para cada uma das funções listadas abaixo, calcule os seguinte limites:
(g)
Para cada uma das funções listadas abaixo, calcule os seguinte limites:
(d)
, Faça primeiro para
e
e depois conjecture o resultado do limite para
qualquer.