Para cada uma das funções listadas abaixo, calcule os seguinte limites:
lim x a f(x)-f(a)x-a lim h 0 f(x+h)-f(x)h
© f(x)=raiz[n]x, Faça primeiro para n=2, n=3 e n=4 e depois conjecture o resultado do limite para n qualquer.

Passo 1

Então, a gente tem duas expressões de limite para calcular relacionadas à função . Estamos trabalhando com cálculo diferencial, especificamente com a definição de derivada. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular limites e aplicar a definição de derivada para diferentes valores de . Vamos começar calculando para , depois para e , e depois ver qual padrão aparece para qualquer .

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o limite lim x a x^1/2 - a^1/2x - a para . Aqui, .
Então, substituindo na expressão:

Passo 3

Para resolver esse limite, vamos multiplicar o numerador e o denominador pelo conjugado do numerador para simplificar. O conjugado de lim x a (x^1/2 - a^1/2)(x^1/2 + a^1/2)(x - a)(x^1/2 + a^1/2) = lim x a x - a(x - a)(x^1/2 + a^1/2) é .

Passo 4

Agora, podemos cancelar lim x a 1x^1/2 + a^1/2 = 12a^1/2 no numerador e denominador:

Passo 5

Então, para lim x a raiz2x - raiz2ax - a = 12raiz2a , o limite é:

Passo 6

Agora, vamos calcular o segundo limite lim h 0 raiz2(x+h) - raiz2xh para .
Substituindo na expressão:

Passo 7

Usando a mesma técnica de multiplicar pelo conjugado:
lim h 0 (raiz2(x+h) - raiz2x)(raiz2(x+h) + raiz2x)h(raiz2(x+h) + raiz2x) = lim h 0 (x + h) - xh(raiz2(x+h) + raiz2x) = lim h 0 hh(raiz2(x+h) + raiz2x)

Passo 8

Cancelando lim h 0 1raiz2(x+h) + raiz2x = 12raiz2x :

Passo 9

Portanto, para 12raiz2a e 12raiz2x , os dois limites resultam em:

Passo 10

Vamos repetir o processo para lim x a x^1/3 - a^1/3x - a . Aqui, .
Primeiro limite:

Passo 11

Multiplicando pelo conjugado adequado, que no caso de raízes cúbicas é um pouco mais complicado, mas seguimos o mesmo princípio:
lim x a x - a(x - a)(x^2/3 + x^1/3a^1/3 + a^2/3) = lim x a 1x^2/3 + x^1/3a^1/3 + a^2/3 = 13a^2/3

Passo 12

Segundo limite para lim h 0 raiz[3]x+h - raiz[3]xh :

Passo 13

Aplicando a mesma técnica:
lim h 0 (x+h) - xh(raiz[3]x+h^2 + raiz[3]x+hraiz[3]x + raiz[3]x^2) = lim h 0 hh(raiz[3]x+h^2 + raiz[3]x+hraiz[3]x + raiz[3]x^2) = 13x^2/3

Passo 14

Portanto, para 13a^2/3 e 13x^2/3 , os limites são:

Passo 15

Agora, para lim x a x^1/4 - a^1/4x - a , .
Primeiro limite:

Passo 16

Multiplicando pelo conjugado adequado:
lim x a x - a(x - a)(x^3/4 + x^2/4a^1/4 + x^1/4a^2/4 + a^3/4) = lim x a 1x^3/4 + x^2/4a^1/4 + x^1/4a^2/4 + a^3/4 = 14a^3/4

Passo 17

Segundo limite para lim h 0 raiz[4]x+h - raiz[4]xh :

Passo 18

Aplicando a mesma técnica:
lim h 0 (x+h) - xh(raiz[4]x+h^3 + raiz[4]x+h^2raiz[4]x + raiz[4]x+hraiz[4]x^2 + raiz[4]x^3) = lim h 0 hh(raiz[4]x+h^3 + raiz[4]x+h^2raiz[4]x + raiz[4]x+hraiz[4]x^2 + raiz[4]x^3) = 14x^3/4

Passo 19

Portanto, para 14a^3/4 e 14x^3/4 , os limites são:

Passo 20

Observando os resultados para lim x a raiz[n]x - raiz[n]ax - a = 1n a^(n-1)/n e lim h 0 raiz[n]x+h - raiz[n]xh = 1n x^(n-1)/n , percebemos que:

Resposta

Para a função lim x a raiz[n]x - raiz[n]ax - a = 1n a^(n-1)/n , os limites são:
lim h 0 raiz[n]x+h - raiz[n]xh = 1n x^(n-1)/n
e

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