Para cada uma das funções listadas abaixo, calcule os seguinte limites:
© , Faça primeiro para e e depois conjecture o resultado do limite para qualquer.

Passo 1

Então, a gente tem duas expressões de limite para calcular relacionadas à função . Estamos trabalhando com cálculo diferencial, especificamente com a definição de derivada. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular limites e aplicar a definição de derivada para diferentes valores de . Vamos começar calculando para , depois para e , e depois ver qual padrão aparece para qualquer .

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o limite para . Aqui, .
Então, substituindo na expressão:

Passo 3

Para resolver esse limite, vamos multiplicar o numerador e o denominador pelo conjugado do numerador para simplificar. O conjugado de é .

Passo 4

Agora, podemos cancelar no numerador e denominador:

Passo 5

Então, para , o limite é:

Passo 6

Agora, vamos calcular o segundo limite para .
Substituindo na expressão:

Passo 7

Usando a mesma técnica de multiplicar pelo conjugado:

Passo 8

Cancelando :

Passo 9

Portanto, para , os dois limites resultam em:

Passo 10

Vamos repetir o processo para . Aqui, .
Primeiro limite:

Passo 11

Multiplicando pelo conjugado adequado, que no caso de raízes cúbicas é um pouco mais complicado, mas seguimos o mesmo princípio:

Passo 12

Segundo limite para :

Passo 13

Aplicando a mesma técnica:

Passo 14

Portanto, para , os limites são:

Passo 15

Agora, para , .
Primeiro limite:

Passo 16

Multiplicando pelo conjugado adequado:

Passo 17

Segundo limite para :

Passo 18

Aplicando a mesma técnica:

Passo 19

Portanto, para , os limites são:

Passo 20

Observando os resultados para , percebemos que:

Resposta

Para a função , os limites são:
e

Exercícios relacionados

Para cada uma das funções listadas abaixo, calcule os seguinte limites:
(f) , Sugestão: Use a seguinte identidade:
Para cada uma das funções listadas abaixo, calcule os seguinte limites:
(b) , Faça primeiro para e e depois conjecture o resultado do limite para qualquer.
Para cada uma das funções listadas abaixo, calcule os seguinte limites:
(g)
Para cada uma das funções listadas abaixo, calcule os seguinte limites:
(d) , Faça primeiro para e e depois conjecture o resultado do limite para qualquer.