Para cada uma das funções listadas abaixo, calcule os seguinte limites:
lim x a f(x)-f(a)x-a lim h 0 f(x+h)-f(x)h
(h) f(x)=e^x

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular dois limites de uma função específica, que neste caso é . O conteúdo envolve derivadas e os limites que definem a derivada de uma função. Para resolver, precisamos entender como calcular limites e aplicar a definição de derivada.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que cada limite representa. O primeiro limite,
lim x a f(x)-f(a)x-a,
é a definição da derivada de lim h 0 f(x+h)-f(x)h, no ponto usando a abordagem de "mudança de " em relação a . O segundo limite,
também representa a derivada de no ponto , mas usando a abordagem de um pequeno incremento .

Passo 3

Vamos calcular o primeiro limite:
lim x a e^x-e^ax-a
Sabemos que a derivada de é , mas vamos derivar isso passo a passo. Podemos usar a definição do limite para derivadas aqui.

Passo 4

Para resolver o limite, notamos que:
lim x a e^x-e^ax-a = e^a
Isso acontece porque a função exponencial é contínua e sua derivada no ponto é igual a ela mesma.

Passo 5

Agora, vamos calcular o segundo limite:
lim h 0 e^x+h-e^xh
Aqui, estamos olhando para a mudança da função quando aumenta um pouquinho, .

Passo 6

Podemos simplificar a expressão usando propriedades de potências:
e^x+h-e^xh = e^x cdot e^h - e^xh = e^x cdot e^h - 1h
Agora, focamos no limite:
lim h 0 e^x cdot e^h - 1h = e^x cdot lim h 0 e^h - 1h

Passo 7

Sabemos que:
lim h 0 e^h - 1h = 1
Portanto,
e^x cdot 1 = e^x

Resposta

Ambos os limites são iguais a e respectivamente.

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