Para cada uma das funções listadas abaixo, calcule os seguinte limites:
(h)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular dois limites de uma função específica, que neste caso é . O conteúdo envolve derivadas e os limites que definem a derivada de uma função. Para resolver, precisamos entender como calcular limites e aplicar a definição de derivada.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que cada limite representa. O primeiro limite,
é a definição da derivada de no ponto usando a abordagem de "mudança de " em relação a . O segundo limite,
também representa a derivada de no ponto , mas usando a abordagem de um pequeno incremento .

Passo 3

Vamos calcular o primeiro limite:
Sabemos que a derivada de é , mas vamos derivar isso passo a passo. Podemos usar a definição do limite para derivadas aqui.

Passo 4

Para resolver o limite, notamos que:
Isso acontece porque a função exponencial é contínua e sua derivada no ponto é igual a ela mesma.

Passo 5

Agora, vamos calcular o segundo limite:
Aqui, estamos olhando para a mudança da função quando aumenta um pouquinho, .

Passo 6

Podemos simplificar a expressão usando propriedades de potências:
Agora, focamos no limite:

Passo 7

Sabemos que:
Portanto,

Resposta

Ambos os limites são iguais a e respectivamente.

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Resolva a equação diferencial dada através de uma série de potência em torno do ponto dado. Encontre a relação de recorrência; encontre também os quatros primeiros termos em cada uma das duas soluções linearmente independentes (a menos que a série termine antes).
(b)
Para cada uma das funções listadas abaixo, calcule os seguinte limites:
(d) , Faça primeiro para e e depois conjecture o resultado do limite para qualquer.
Determine:
Encontre a solução do problema de valor inicial dado.
(d) , .