Para cada uma das funções listadas abaixo, calcule os seguinte limites:
(h)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular dois limites de uma função específica, que neste caso é
. O conteúdo envolve derivadas e os limites que definem a derivada de uma função. Para resolver, precisamos entender como calcular limites e aplicar a definição de derivada.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que cada limite representa. O primeiro limite,
é a definição da derivada de
no ponto
usando a abordagem de "mudança de
" em relação a
. O segundo limite,
também representa a derivada de
no ponto
, mas usando a abordagem de um pequeno incremento
.
Passo 3
Vamos calcular o primeiro limite:
Sabemos que a derivada de
é
, mas vamos derivar isso passo a passo. Podemos usar a definição do limite para derivadas aqui.
Passo 4
Para resolver o limite, notamos que:
Isso acontece porque a função exponencial é contínua e sua derivada no ponto
é igual a ela mesma.
Passo 5
Agora, vamos calcular o segundo limite:
Aqui, estamos olhando para a mudança da função quando
aumenta um pouquinho,
.
Passo 6
Podemos simplificar a expressão usando propriedades de potências:
Agora, focamos no limite:
Passo 7
Sabemos que:
Portanto,
Resposta
Ambos os limites são iguais a
e
respectivamente.
Exercícios relacionados
Resolva a equação diferencial dada através de uma série de potência em torno do ponto
dado. Encontre a relação de recorrência; encontre também os quatros primeiros termos em cada uma das duas soluções linearmente independentes (a menos que a série termine antes).
(b)
(b)
Para cada uma das funções listadas abaixo, calcule os seguinte limites:
(d)
, Faça primeiro para
e
e depois conjecture o resultado do limite para
qualquer.
Determine:
Encontre a solução do problema de valor inicial dado.
(d) ,
.
(d)