Resolva a equação diferencial dada através de uma série de potência em torno do ponto dado. Encontre a relação de recorrência; encontre também os quatros primeiros termos em cada uma das duas soluções linearmente independentes (a menos que a série termine antes).
(b)

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação diferencial usando séries de potência em torno de . Aqui, estamos trabalhando com equações diferenciais ordinárias (EDOs) e séries de potência. Para resolver isso, vamos precisar expandir em uma série de potências, calcular suas derivadas, substituir na equação e encontrar a relação de recorrência que nos permitirá determinar os coeficientes da série.

Passo 2

Primeiro, vamos assumir que a solução pode ser escrita como uma série de potências em torno de :
Aqui, são os coeficientes que precisamos encontrar.

Passo 3

Agora, vamos calcular as derivadas de :

Passo 4

Vamos substituir e na equação diferencial original:
Substituindo as séries:

Passo 5

Vamos distribuir na série de :
Para facilitar, vamos reindexar as somas para que todas tenham :
Primeira soma:
Segunda soma:
Terceira soma permanece:
Agora, juntando tudo:

Passo 6

Agora, para que a equação seja válida para todo , os coeficientes de cada devem somar zero. Vamos igualar os coeficientes:
Para :
Para :
Isso nos dá a relação de recorrência:

Passo 7

Agora, vamos encontrar os quatro primeiros termos de duas soluções linearmente independentes. Para isso, precisamos definir valores iniciais para e , que servirão como coeficientes arbitrários.
Primeira Solução ( , ):
  1. De :
  2. Usando a relação de recorrência para :
  1. Para :
Portanto, a primeira solução é:
Segunda Solução ( , ):
  1. De :
  2. Usando a relação de recorrência para :
  1. Para :
Portanto, a segunda solução é:

Resposta

As quatro primeiras termos das duas soluções linearmente independentes são:

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Para cada uma das funções listadas abaixo, calcule os seguinte limites:
(d) , Faça primeiro para e e depois conjecture o resultado do limite para qualquer.
Para cada uma das funções listadas abaixo, calcule os seguinte limites:
(g)
Para cada uma das funções listadas abaixo, calcule os seguinte limites:
(h)
Determine: