Resolva a equação diferencial dada através de uma série de potência em torno do ponto
dado. Encontre a relação de recorrência; encontre também os quatros primeiros termos em cada uma das duas soluções linearmente independentes (a menos que a série termine antes).
(b)
(b)
Passo 1
Beleza, vamos resolver a equação diferencial
usando séries de potência em torno de
. Aqui, estamos trabalhando com equações diferenciais ordinárias (EDOs) e séries de potência. Para resolver isso, vamos precisar expandir
em uma série de potências, calcular suas derivadas, substituir na equação e encontrar a relação de recorrência que nos permitirá determinar os coeficientes da série.
Passo 2
Primeiro, vamos assumir que a solução
pode ser escrita como uma série de potências em torno de
:
Aqui,
são os coeficientes que precisamos encontrar.
Passo 3
Agora, vamos calcular as derivadas de
:
Passo 4
Vamos substituir
e
na equação diferencial original:
Substituindo as séries:
Passo 5
Vamos distribuir
na série de
:
Para facilitar, vamos reindexar as somas para que todas tenham
:
Primeira soma:
Segunda soma:
Terceira soma permanece:
Agora, juntando tudo:
Passo 6
Agora, para que a equação seja válida para todo
, os coeficientes de cada
devem somar zero. Vamos igualar os coeficientes:
Para
:
Para
:
Isso nos dá a relação de recorrência:
Passo 7
Agora, vamos encontrar os quatro primeiros termos de duas soluções linearmente independentes. Para isso, precisamos definir valores iniciais para
e
, que servirão como coeficientes arbitrários.
Primeira Solução (
,
):
-
- De
: - Usando a relação de recorrência para
:
- Para
:
Portanto, a primeira solução é:
Segunda Solução (
,
):
-
- De
: - Usando a relação de recorrência para
:
- Para
:
Portanto, a segunda solução é:
Resposta
As quatro primeiras termos das duas soluções linearmente independentes são: