Resolva a equação diferencial dada através de uma série de potência em torno do ponto dado. Encontre a relação de recorrência; encontre também os quatros primeiros termos em cada uma das duas soluções linearmente independentes (a menos que a série termine antes).
(b)
Passo 1
Beleza, vamos resolver a equação diferencial usando séries de potência em torno de . Aqui, estamos trabalhando com equações diferenciais ordinárias (EDOs) e séries de potência. Para resolver isso, vamos precisar expandir em uma série de potências, calcular suas derivadas, substituir na equação e encontrar a relação de recorrência que nos permitirá determinar os coeficientes da série.
Passo 2
Primeiro, vamos assumir que a solução pode ser escrita como uma série de potências em torno de :
Aqui, são os coeficientes que precisamos encontrar.
Passo 3
Agora, vamos calcular as derivadas de :
Passo 4
Vamos substituir e na equação diferencial original:
Substituindo as séries:
Passo 5
Vamos distribuir na série de :
Para facilitar, vamos reindexar as somas para que todas tenham :
Primeira soma:
Segunda soma:
Terceira soma permanece:
Agora, juntando tudo:
Passo 6
Agora, para que a equação seja válida para todo , os coeficientes de cada devem somar zero. Vamos igualar os coeficientes:
Para :
Para :
Isso nos dá a relação de recorrência:
Passo 7
Agora, vamos encontrar os quatro primeiros termos de duas soluções linearmente independentes. Para isso, precisamos definir valores iniciais para e , que servirão como coeficientes arbitrários.
Primeira Solução (, ):
De :
Usando a relação de recorrência para :
Para :
Portanto, a primeira solução é:
Segunda Solução (, ):
De :
Usando a relação de recorrência para :
Para :
Portanto, a segunda solução é:
Resposta
As quatro primeiras termos das duas soluções linearmente independentes são: