Para cada uma das funções listadas abaixo, calcule os seguinte limites:
lim x a f(x)-f(a)x-a lim h 0 f(x+h)-f(x)h
(g) f(x)=b^x, b>0, b neq 1

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a função , onde e . Precisamos calcular dois limites que estão relacionados à derivada dessa função. Para resolver isso, vamos usar conceitos de limites e derivadas.

Passo 2

Vamos calcular o primeiro limite:
lim x a f(x)-f(a)x-a = lim x a b^x - b^ax - a
Esse limite representa a definição da derivada de lim x a b^x - b^ax - a = ln(b) cdot b^a no ponto . A derivada de uma função em um ponto nos dá a taxa de variação da função naquele ponto.
Sabemos que a derivada de é . Portanto, substituindo por :

Passo 3

Agora, vamos calcular o segundo limite:
lim h 0 f(x+h)-f(x)h = lim h 0 b^x+h - b^xh
Podemos simplificar lim h 0 b^x cdot b^h - b^xh = b^x cdot lim h 0 b^h - 1h como lim h 0 b^h - 1h = ln(b) :
b^x cdot ln(b) = ln(b) cdot b^x
Sabemos que:
Portanto:

Resposta

Ambos os limites são iguais a .

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