Para cada uma das funções listadas abaixo, calcule os seguinte limites:
(g)

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a função , onde e . Precisamos calcular dois limites que estão relacionados à derivada dessa função. Para resolver isso, vamos usar conceitos de limites e derivadas.

Passo 2

Vamos calcular o primeiro limite:
Esse limite representa a definição da derivada de no ponto . A derivada de uma função em um ponto nos dá a taxa de variação da função naquele ponto.
Sabemos que a derivada de é . Portanto, substituindo por :

Passo 3

Agora, vamos calcular o segundo limite:
Podemos simplificar como :
Sabemos que:
Portanto:

Resposta

Ambos os limites são iguais a .

Exercícios relacionados

Para cada uma das funções listadas abaixo, calcule os seguinte limites:
© , Faça primeiro para e e depois conjecture o resultado do limite para qualquer.
Para cada uma das funções listadas abaixo, calcule os seguinte limites:
(f) , Sugestão: Use a seguinte identidade:
Para cada uma das funções listadas abaixo, calcule os seguinte limites:
(d) , Faça primeiro para e e depois conjecture o resultado do limite para qualquer.
Resolva a equação diferencial dada através de uma série de potência em torno do ponto dado. Encontre a relação de recorrência; encontre também os quatros primeiros termos em cada uma das duas soluções linearmente independentes (a menos que a série termine antes).
(b)