Para cada uma das funções listadas abaixo, calcule os seguinte limites:
(g)
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a função
, onde
e
. Precisamos calcular dois limites que estão relacionados à derivada dessa função. Para resolver isso, vamos usar conceitos de limites e derivadas.
Passo 2
Vamos calcular o primeiro limite:
Esse limite representa a definição da derivada de
no ponto
. A derivada de uma função em um ponto nos dá a taxa de variação da função naquele ponto.
Sabemos que a derivada de
é
. Portanto, substituindo
por
:
Passo 3
Agora, vamos calcular o segundo limite:
Podemos simplificar
como
:
Sabemos que:
Portanto:
Resposta
Ambos os limites são iguais a
.
Exercícios relacionados
Para cada uma das funções listadas abaixo, calcule os seguinte limites:
©
, Faça primeiro para
e
e depois conjecture o resultado do limite para
qualquer.
Para cada uma das funções listadas abaixo, calcule os seguinte limites:
(f)
, Sugestão: Use a seguinte identidade:
Para cada uma das funções listadas abaixo, calcule os seguinte limites:
(d)
, Faça primeiro para
e
e depois conjecture o resultado do limite para
qualquer.
Resolva a equação diferencial dada através de uma série de potência em torno do ponto
dado. Encontre a relação de recorrência; encontre também os quatros primeiros termos em cada uma das duas soluções linearmente independentes (a menos que a série termine antes).
(b)
(b)