Para cada uma das funções listadas abaixo, calcule os seguinte limites:
(j)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular dois limites para a função
. Esses limites são na verdade definições da derivada dessa função. Para isso, vamos precisar entender um pouquinho sobre derivadas e como aplicar essas definições passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o limite:
Isso é a definição da derivada de
no ponto
. A derivada basicamente nos diz a taxa de variação da função naquele ponto. Vamos substituir
por
:
Agora, usamos uma propriedade dos logaritmos que diz que
:
Vamos fazer uma mudança de variável para simplificar. Seja
, então quando
se aproxima de
,
se aproxima de 0. Substituindo:
Sabemos que
. Aplicando isso aqui:
Passo 3
Agora, vamos calcular o segundo limite:
Essa é outra forma de escrever a derivada de
no ponto
. Substituindo
por
:
Usando novamente a propriedade dos logaritmos:
Fazendo a mesma substituição de
, onde
se aproxima de 0:
Resposta
A derivada da função
no ponto
é
. Ou seja:
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Para cada uma das funções listadas abaixo, calcule os seguinte limites:
(a)
, c uma constante
De quantos modos é possível colocar 8 pessoas em fila de modo que duas dessas pessoas, Vera e Paulo, não fiquem juntas?
Para cada uma das funções listadas abaixo, calcule os seguinte limites:
(b)
, Faça primeiro para
e
e depois conjecture o resultado do limite para
qualquer.
Para cada uma das funções listadas abaixo, calcule os seguinte limites:
(f)
, Sugestão: Use a seguinte identidade: