Para cada uma das funções listadas abaixo, calcule os seguinte limites:
lim x a f(x)-f(a)x-a lim h 0 f(x+h)-f(x)h
(j) f(x)=ln x

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular dois limites para a função . Esses limites são na verdade definições da derivada dessa função. Para isso, vamos precisar entender um pouquinho sobre derivadas e como aplicar essas definições passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o limite:
lim x a f(x)-f(a)x-a
Isso é a definição da derivada de lim x a ln x - ln ax - a no ponto lim x a ln(xa)x - a . A derivada basicamente nos diz a taxa de variação da função naquele ponto. Vamos substituir lim h 0 ln(1 + ha)h por lim h 0 ln(1 + ha)h = 1a :
Agora, usamos uma propriedade dos logaritmos que diz que :
Vamos fazer uma mudança de variável para simplificar. Seja , então quando se aproxima de , se aproxima de 0. Substituindo:
Sabemos que . Aplicando isso aqui:

Passo 3

Agora, vamos calcular o segundo limite:
lim h 0 f(a+h)-f(a)h
Essa é outra forma de escrever a derivada de lim h 0 ln(a + h) - ln ah no ponto lim h 0 ln(a + ha)h = lim h 0 ln(1 + ha)h . Substituindo lim k 0 ln(1 + k)ak = 1a cdot lim k 0 ln(1 + k)k = 1a por :
Usando novamente a propriedade dos logaritmos:
Fazendo a mesma substituição de , onde se aproxima de 0:

Resposta

A derivada da função f'(a) = 1a no ponto é . Ou seja:

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