Para cada uma das funções listadas abaixo, calcule os seguinte limites:
(j)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular dois limites para a função . Esses limites são na verdade definições da derivada dessa função. Para isso, vamos precisar entender um pouquinho sobre derivadas e como aplicar essas definições passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o limite:
Isso é a definição da derivada de no ponto . A derivada basicamente nos diz a taxa de variação da função naquele ponto. Vamos substituir por :
Agora, usamos uma propriedade dos logaritmos que diz que :
Vamos fazer uma mudança de variável para simplificar. Seja , então quando se aproxima de , se aproxima de 0. Substituindo:
Sabemos que . Aplicando isso aqui:

Passo 3

Agora, vamos calcular o segundo limite:
Essa é outra forma de escrever a derivada de no ponto . Substituindo por :
Usando novamente a propriedade dos logaritmos:
Fazendo a mesma substituição de , onde se aproxima de 0:

Resposta

A derivada da função no ponto é . Ou seja:

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Para cada uma das funções listadas abaixo, calcule os seguinte limites:
(a) , c uma constante
De quantos modos é possível colocar 8 pessoas em fila de modo que duas dessas pessoas, Vera e Paulo, não fiquem juntas?
Para cada uma das funções listadas abaixo, calcule os seguinte limites:
(b) , Faça primeiro para e e depois conjecture o resultado do limite para qualquer.
Para cada uma das funções listadas abaixo, calcule os seguinte limites:
(f) , Sugestão: Use a seguinte identidade: