Para cada uma das funções listadas abaixo, calcule os seguinte limites:
(b)
, Faça primeiro para
e
e depois conjecture o resultado do limite para
qualquer.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular dois limites para a função
quando
e
. Esses limites são importantes porque eles nos ajudam a entender como a função se comporta perto de um ponto específico. Para isso, vamos precisar saber sobre limites e derivadas, que são conceitos fundamentais do cálculo.
Passo 2
Vamos começar com
.
Função:
Primeiro limite:
Aqui, percebemos que no numerador temos uma diferença de quadrados, que podemos fatorar:
Então, o limite fica:
Segundo limite:
Expandindo
:
Substituindo no limite:
Passo 3
Agora, vamos para
.
Função:
Primeiro limite:
Utilizamos a fatoração da diferença de cubos:
Então:
Segundo limite:
Expandindo
:
Substituindo no limite:
Passo 4
Vamos para
.
Função:
Primeiro limite:
Fatorando a diferença de potências:
Portanto:
Segundo limite:
Expandindo
usando o binômio de Newton:
Substituindo no limite:
Passo 5
Agora que vimos para
e
, vamos observar o padrão. Em cada caso, os limites resultaram em
. Ou seja:
Isso acontece porque, ao fatorar
ou expandir
, o termo que sobra após dividir por
ou
é sempre proporcional a
.
Resposta
Para a função
, os limites são iguais a
. Ou seja,
Exercícios relacionados
Para cada uma das funções listadas abaixo, calcule os seguinte limites:
(j)
Para cada uma das funções listadas abaixo, calcule os seguinte limites:
(a)
, c uma constante
Para cada uma das funções listadas abaixo, calcule os seguinte limites:
(f)
, Sugestão: Use a seguinte identidade:
Para cada uma das funções listadas abaixo, calcule os seguinte limites:
©
, Faça primeiro para
e
e depois conjecture o resultado do limite para
qualquer.