Para cada uma das funções listadas abaixo, calcule os seguinte limites:
(b) , Faça primeiro para e e depois conjecture o resultado do limite para qualquer.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular dois limites para a função quando e . Esses limites são importantes porque eles nos ajudam a entender como a função se comporta perto de um ponto específico. Para isso, vamos precisar saber sobre limites e derivadas, que são conceitos fundamentais do cálculo.

Passo 2

Vamos começar com .
Função:
Primeiro limite:
Aqui, percebemos que no numerador temos uma diferença de quadrados, que podemos fatorar:
Então, o limite fica:
Segundo limite:
Expandindo :
Substituindo no limite:

Passo 3

Agora, vamos para .
Função:
Primeiro limite:
Utilizamos a fatoração da diferença de cubos:
Então:
Segundo limite:
Expandindo :
Substituindo no limite:

Passo 4

Vamos para .
Função:
Primeiro limite:
Fatorando a diferença de potências:
Portanto:
Segundo limite:
Expandindo usando o binômio de Newton:
Substituindo no limite:

Passo 5

Agora que vimos para e , vamos observar o padrão. Em cada caso, os limites resultaram em . Ou seja:
Isso acontece porque, ao fatorar ou expandir , o termo que sobra após dividir por ou é sempre proporcional a .

Resposta

Para a função , os limites são iguais a . Ou seja,

Exercícios relacionados

Para cada uma das funções listadas abaixo, calcule os seguinte limites:
(j)
Para cada uma das funções listadas abaixo, calcule os seguinte limites:
(a) , c uma constante
Para cada uma das funções listadas abaixo, calcule os seguinte limites:
(f) , Sugestão: Use a seguinte identidade:
Para cada uma das funções listadas abaixo, calcule os seguinte limites:
© , Faça primeiro para e e depois conjecture o resultado do limite para qualquer.