Para cada uma das funções listadas abaixo, calcule os seguinte limites:
lim x a f(x)-f(a)x-a lim h 0 f(x+h)-f(x)h
(b) f(x)=x^n, Faça primeiro para n=2, n=3 e n=4 e depois conjecture o resultado do limite para n qualquer.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular dois limites para a função quando e . Esses limites são importantes porque eles nos ajudam a entender como a função se comporta perto de um ponto específico. Para isso, vamos precisar saber sobre limites e derivadas, que são conceitos fundamentais do cálculo.

Passo 2

Vamos começar com limx to a f(x) - f(a)x - a = limx to a x^2 - a^2x - a .
Função: x^2 - a^2 = (x - a)(x + a)
Primeiro limite:
limx to a (x - a)(x + a)x - a = limx to a (x + a) = 2a
Aqui, percebemos que no numerador temos uma diferença de quadrados, que podemos fatorar:
limh to 0 f(a + h) - f(a)h = limh to 0 (a + h)^2 - a^2h
Então, o limite fica:
(a + h)^2 = a^2 + 2ah + h^2
Segundo limite:
limh to 0 a^2 + 2ah + h^2 - a^2h = limh to 0 2ah + h^2h = limh to 0 (2a + h) = 2a
Expandindo :
Substituindo no limite:

Passo 3

Agora, vamos para limx to a x^3 - a^3x - a .
Função: x^3 - a^3 = (x - a)(x^2 + ax + a^2)
Primeiro limite:
limx to a (x - a)(x^2 + ax + a^2)x - a = limx to a (x^2 + ax + a^2) = 3a^2
Utilizamos a fatoração da diferença de cubos:
limh to 0 (a + h)^3 - a^3h
Então:
(a + h)^3 = a^3 + 3a^2h + 3ah^2 + h^3
Segundo limite:
limh to 0 a^3 + 3a^2h + 3ah^2 + h^3 - a^3h = limh to 0 3a^2h + 3ah^2 + h^3h = limh to 0 (3a^2 + 3ah + h^2) = 3a^2
Expandindo :
Substituindo no limite:

Passo 4

Vamos para limx to a x^4 - a^4x - a .
Função: x^4 - a^4 = (x - a)(x^3 + x^2a + xa^2 + a^3)
Primeiro limite:
limx to a (x - a)(x^3 + x^2a + xa^2 + a^3)x - a = limx to a (x^3 + x^2a + xa^2 + a^3) = 4a^3
Fatorando a diferença de potências:
limh to 0 (a + h)^4 - a^4h
Portanto:
(a + h)^4 = a^4 + 4a^3h + 6a^2h^2 + 4ah^3 + h^4
Segundo limite:
limh to 0 a^4 + 4a^3h + 6a^2h^2 + 4ah^3 + h^4 - a^4h = limh to 0 4a^3h + 6a^2h^2 + 4ah^3 + h^4h = limh to 0 (4a^3 + 6a^2h + 4ah^2 + h^3) = 4a^3
Expandindo usando o binômio de Newton:
Substituindo no limite:

Passo 5

Agora que vimos para limx to a x^n - a^nx - a = limh to 0 (a + h)^n - a^nh = n cdot a^n-1 e , vamos observar o padrão. Em cada caso, os limites resultaram em . Ou seja:
Isso acontece porque, ao fatorar ou expandir , o termo que sobra após dividir por ou é sempre proporcional a .

Resposta

Para a função limx to a f(x) - f(a)x - a = limh to 0 f(a + h) - f(a)h = n cdot a^n-1 , os limites são iguais a . Ou seja,

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