Para cada uma das funções listadas abaixo, calcule os seguinte limites:
(f) , Sugestão: Use a seguinte identidade:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular dois limites de uma função trigonométrica, especificamente . Para isso, vamos usar a identidade trigonométrica que relaciona a diferença de senos:
Isso vai nos ajudar a simplificar as expressões dos limites.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o limite quando se aproxima de :
Aqui, substituímos por e por .

Passo 3

Agora, aplicamos a identidade trigonométrica sugerida para simplificar o numerador:
Substituindo isso na expressão do limite:

Passo 4

Simplificamos a expressão dividindo por :
Aqui, reescrevemos o denominador como para facilitar o cálculo.

Passo 5

Sabemos que:
Aqui, substituímos por , que tende a 0 quando tende a .

Passo 6

Aplicando esse limite, temos:

Passo 7

Agora, vamos calcular o segundo limite:

Passo 8

Usamos novamente a identidade trigonométrica para a diferença de senos:
Substituindo na expressão do limite:

Passo 9

Simplificamos dividindo por :

Passo 10

Sabemos que:
Aqui, substituímos por , que tende a 0 quando tende a 0.

Passo 11

Aplicando esse limite, temos:

Resposta

O primeiro limite é e o segundo limite é .

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Para cada uma das funções listadas abaixo, calcule os seguinte limites:
(b) , Faça primeiro para e e depois conjecture o resultado do limite para qualquer.
Para cada uma das funções listadas abaixo, calcule os seguinte limites:
(j)
Para cada uma das funções listadas abaixo, calcule os seguinte limites:
© , Faça primeiro para e e depois conjecture o resultado do limite para qualquer.
Para cada uma das funções listadas abaixo, calcule os seguinte limites:
(g)