Para cada uma das funções listadas abaixo, calcule os seguinte limites:
(f)
, Sugestão: Use a seguinte identidade:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular dois limites de uma função trigonométrica, especificamente
. Para isso, vamos usar a identidade trigonométrica que relaciona a diferença de senos:
Isso vai nos ajudar a simplificar as expressões dos limites.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o limite quando
se aproxima de
:
Aqui, substituímos
por
e
por
.
Passo 3
Agora, aplicamos a identidade trigonométrica sugerida para simplificar o numerador:
Substituindo isso na expressão do limite:
Passo 4
Simplificamos a expressão dividindo por
:
Aqui, reescrevemos o denominador como
para facilitar o cálculo.
Passo 5
Sabemos que:
Aqui, substituímos
por
, que tende a 0 quando
tende a
.
Passo 6
Aplicando esse limite, temos:
Passo 7
Agora, vamos calcular o segundo limite:
Passo 8
Usamos novamente a identidade trigonométrica para a diferença de senos:
Substituindo na expressão do limite:
Passo 9
Simplificamos dividindo por
:
Passo 10
Sabemos que:
Aqui, substituímos
por
, que tende a 0 quando
tende a 0.
Passo 11
Aplicando esse limite, temos:
Resposta
O primeiro limite é
e o segundo limite é
.
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Para cada uma das funções listadas abaixo, calcule os seguinte limites:
(b)
, Faça primeiro para
e
e depois conjecture o resultado do limite para
qualquer.
Para cada uma das funções listadas abaixo, calcule os seguinte limites:
(j)
Para cada uma das funções listadas abaixo, calcule os seguinte limites:
©
, Faça primeiro para
e
e depois conjecture o resultado do limite para
qualquer.
Para cada uma das funções listadas abaixo, calcule os seguinte limites:
(g)