Para cada uma das funções listadas abaixo, calcule os seguinte limites:
lim x a f(x)-f(a)x-a lim h 0 f(x+h)-f(x)h
(f) f(x)=sen x, Sugestão: Use a seguinte identidade:
sen alpha-sen beta=2 sen(alpha-beta2) cos (alpha+beta2)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular dois limites de uma função trigonométrica, especificamente sin alpha - sin beta = 2 sin(alpha - beta2) cos(alpha + beta2) . Para isso, vamos usar a identidade trigonométrica que relaciona a diferença de senos:
Isso vai nos ajudar a simplificar as expressões dos limites.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o limite quando limx a f(x) - f(a)x - a = limx a sin x - sin ax - a se aproxima de :
Aqui, substituímos por e por .

Passo 3

Agora, aplicamos a identidade trigonométrica sugerida para simplificar o numerador:
sin x - sin a = 2 sin(x - a2) cos(x + a2)
Substituindo isso na expressão do limite:
limx a 2 sin(x - a2) cos(x + a2)x - a

Passo 4

Simplificamos a expressão dividindo por limx a 2 cos(x + a2) cdot sin(x - a2)x - a2 :
Aqui, reescrevemos o denominador como para facilitar o cálculo.

Passo 5

Sabemos que:
limy 0 sin yy = 1
Aqui, substituímos por , que tende a 0 quando tende a .

Passo 6

Aplicando esse limite, temos:
2 cos(a + a2) cdot 1 = 2 cos(a) cdot 1 = 2 cos a

Passo 7

Agora, vamos calcular o segundo limite:
limh 0 f(x + h) - f(x)h = limh 0 sin(x + h) - sin xh

Passo 8

Usamos novamente a identidade trigonométrica para a diferença de senos:
sin(x + h) - sin x = 2 sin((x + h) - x2) cos((x + h) + x2) = 2 sin(h2) cos(x + h2)
Substituindo na expressão do limite:
limh 0 2 sin(h2) cos(x + h2)h

Passo 9

Simplificamos dividindo por 2 limh 0 cos(x + h2) cdot sin(h2)h2 :

Passo 10

Sabemos que:
limy 0 sin yy = 1
Aqui, substituímos por , que tende a 0 quando tende a 0.

Passo 11

Aplicando esse limite, temos:
2 cos(x) cdot 1 = 2 cos x cdot 1 = 2 cos x

Resposta

O primeiro limite é e o segundo limite é .

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