De quantos modos é possível colocar 8 pessoas em fila de modo que duas dessas pessoas, Vera e Paulo, não fiquem juntas?
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede pra gente descobrir de quantas maneiras podemos organizar 8 pessoas em uma fila, garantindo que duas delas, a Vera e o Paulo, não fiquem juntas. Vamos usar conceitos de arranjos e permutação, que são partes da combinatória.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular quantas maneiras existem de arranjar as 8 pessoas sem nenhuma restrição. Isso é simplesmente o número de permutações de 8 elementos, que é representado por
.
Então, temos 40.320 arranjos possíveis sem restrições.
Passo 3
Agora, vamos descobrir quantas dessas maneiras têm a Vera e o Paulo juntos. Para facilitar, vamos imaginar que a Vera e o Paulo formam um “bloco” único. Assim, ao invés de 8 pessoas, teremos 7 elementos para arranjar (o bloco Vera-Paulo mais as outras 6 pessoas).
O número de permutações desses 7 elementos é
.
Mas atenção! Dentro do bloco Vera-Paulo, eles podem trocar de posição: Vera pode estar antes ou depois do Paulo. Então, temos 2 formas de organizar o bloco.
Multiplicando isso, temos:
Portanto, existem 10.080 arranjos onde a Vera e o Paulo estão juntos.
Passo 4
Para encontrar o número de arranjos onde a Vera e o Paulo não estão juntos, vamos subtrair os arranjos indesejados (onde eles estão juntos) do total de arranjos.
Resposta
Existem 30.240 maneiras de organizar as 8 pessoas em fila de modo que a Vera e o Paulo não fiquem juntos.
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Em cada um dos itens abaixo, calcule
, sendo dados:
a parte do parabolóide
interceptada pelo plano
.
Para cada uma das funções listadas abaixo, calcule os seguinte limites:
(a)
, c uma constante
Para cada uma das funções listadas abaixo, calcule os seguinte limites:
(j)