Encontre a solução do problema de valor inicial dado.
(d) , .

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem um problema de equação diferencial de segunda ordem com condições iniciais. A equação é:
Aqui, vamos usar Transformadas de Laplace para resolver essa equação. Precisamos conhecer as transformadas de funções básicas e como aplicar as condições iniciais.

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar a Transformada de Laplace em ambos os lados da equação. Lembre-se que:
Como e , fica:
De modo similar:
E:

Passo 3

Agora, aplicando a transformada na parte direita da equação. Sabemos que:
Para o termo com a função degrau :
Aqui, e , então:
Portanto, a parte direita fica:

Passo 4

Colocando tudo junto na transformada da equação original:
Fatorando :

Passo 5

Agora, isolamos :
Vamos simplificar o denominador quadrático. A equação característica associada é:
Resolvendo com a fórmula de Bhaskara:
Então, podemos reescrever o denominador como:

Passo 6

Agora, expressamos de forma mais conveniente para aplicar a transformada inversa:
Isso envolve convoluções e funções deslocadas, o que pode ficar bem trabalhoso. Para simplificar, reconhecemos que a solução geral será a soma da solução da equação homogênea com uma solução particular.

Passo 7

A solução da equação homogênea associada:
Com raízes complexas , a solução homogênea é:
Aplicando as condições iniciais e , obtemos e . Então, a solução homogênea não contribui.

Passo 8

Agora, buscamos uma solução particular para o lado direito da equação:
Essa parte pode ser resolvida por Transformada de Laplace ou por método de variação dos parâmetros. Devido à complexidade, mantemos a expressão em termos de transformadas para obter a solução final.

Resposta

A solução da equação diferencial dada com as condições iniciais é:
Para obter uma expressão explícita, você pode expandir em frações parciais e aplicar a transformada inversa de Laplace, resultando em:
çãí

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Determine:
Para cada uma das funções listadas abaixo, calcule os seguinte limites:
(h)
Determine:
Determine: