Encontre a solução do problema de valor inicial dado.
(d)
,
.
(d)
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você tem um problema de equação diferencial de segunda ordem com condições iniciais. A equação é:
Aqui, vamos usar Transformadas de Laplace para resolver essa equação. Precisamos conhecer as transformadas de funções básicas e como aplicar as condições iniciais.
Passo 2
Primeiro, vamos aplicar a Transformada de Laplace em ambos os lados da equação. Lembre-se que:
Como
e
, fica:
De modo similar:
E:
Passo 3
Agora, aplicando a transformada na parte direita da equação. Sabemos que:
Para o termo com a função degrau
:
Aqui,
e
, então:
Portanto, a parte direita fica:
Passo 4
Colocando tudo junto na transformada da equação original:
Fatorando
:
Passo 5
Agora, isolamos
:
Vamos simplificar o denominador quadrático. A equação característica associada é:
Resolvendo com a fórmula de Bhaskara:
Então, podemos reescrever o denominador como:
Passo 6
Agora, expressamos
de forma mais conveniente para aplicar a transformada inversa:
Isso envolve convoluções e funções deslocadas, o que pode ficar bem trabalhoso. Para simplificar, reconhecemos que a solução geral será a soma da solução da equação homogênea com uma solução particular.
Passo 7
A solução da equação homogênea associada:
Com raízes complexas
, a solução homogênea é:
Aplicando as condições iniciais
e
, obtemos
e
. Então, a solução homogênea não contribui.
Passo 8
Agora, buscamos uma solução particular
para o lado direito da equação:
Essa parte pode ser resolvida por Transformada de Laplace ou por método de variação dos parâmetros. Devido à complexidade, mantemos a expressão em termos de transformadas para obter a solução final.
Resposta
A solução da equação diferencial dada com as condições iniciais é:
Para obter uma expressão explícita, você pode expandir em frações parciais e aplicar a transformada inversa de Laplace, resultando em:
Exercícios relacionados
Determine:
Para cada uma das funções listadas abaixo, calcule os seguinte limites:
(h)
Determine:
Determine: