Para cada uma das funções quadráticas a seguir, encontre as raízes, determine o vértice e esboce o gráfico
Passo 1
Nesta questão, vamos trabalhar com uma função quadrática, que é um tipo de função matemática representada por um polinômio de segundo grau. O objetivo é encontrar as raízes da função (os valores de
onde
), determinar o vértice da parábola representada por esta função e esboçar o gráfico correspondente. Para resolver isso, vamos precisar lembrar como encontrar as raízes de uma equação quadrática, como calcular o vértice da parábola e entender a forma geral do gráfico de uma função quadrática.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar as raízes da função, que são os valores de
para os quais
. Ou seja, queremos resolver a equação:
Para resolver uma equação quadrática da forma
, podemos usar a fórmula de Bhaskara:
No nosso caso,
,
(pois não há termo com
), e
.
Substituindo esses valores na fórmula:
Como o discriminante
é negativo (-8), isso significa que a função não possui raízes reais; as soluções são números complexos.
Passo 3
Segundo, vamos determinar o vértice da parábola. O vértice de uma função quadrática na forma
está localizado nas coordenadas:
Com
e
:
Para encontrar
, substituímos
na função:
Portanto, o vértice está no ponto
.
Passo 4
Por fim, para esboçar o gráfico da função, podemos considerar que é uma parábola, já que é uma função quadrática. O coeficiente de
, que é
, é negativo, o que indica que a parábola abre para baixo.
Sabemos que o vértice é o ponto mais alto da parábola, e nesse caso, é
.
Como não há raízes reais, a parábola não corta o eixo
, apenas cruza o eixo
no ponto onde
, que já vimos ser o vértice.
Portanto, o gráfico será uma parábola invertida com vértice em
e sem interseções com o eixo
.
Resposta
As raízes da função são números complexos (não existem raízes reais). O vértice da parábola está no ponto
. O gráfico é uma parábola que abre para baixo, com vértice em
e sem interseções com o eixo
.
Exercícios relacionados
As funções
e
são dadas por
e
. Determine o valor de
sabendo que
.
Para cada uma das funções a seguir, encontre as raízes, os interceptos no eixo
, esboce o gráfico e explicite os intervalos de crescimento e decrescimento.
Se
é tal que
e
, calcule o valor de
.
Seja
, em que
. Esta é uma função polinomial de grau 1 (ou afim se
e linear caso
). Seu gráfico é uma reta. Pede-se:
Onde as retas obtidas acima interceptam o eixo (eixo das ordenadas)? Há alguma relação com o valor adotado por
? Por que isto ocorre? Como o valor
é chamado? Mantendo
fixo e variando o valor de
o que ocorre com as retas resultantes? Como o valor
é chamado?
Onde as retas obtidas acima interceptam o eixo