Para cada uma das funções quadráticas a seguir, encontre as raízes, determine o vértice e esboce o gráfico

Passo 1

Nesta questão, vamos trabalhar com uma função quadrática, que é um tipo de função matemática representada por um polinômio de segundo grau. O objetivo é encontrar as raízes da função (os valores de onde ), determinar o vértice da parábola representada por esta função e esboçar o gráfico correspondente. Para resolver isso, vamos precisar lembrar como encontrar as raízes de uma equação quadrática, como calcular o vértice da parábola e entender a forma geral do gráfico de uma função quadrática.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar as raízes da função, que são os valores de para os quais . Ou seja, queremos resolver a equação:
Para resolver uma equação quadrática da forma , podemos usar a fórmula de Bhaskara:
No nosso caso, , (pois não há termo com ), e .
Substituindo esses valores na fórmula:
Como o discriminante é negativo (-8), isso significa que a função não possui raízes reais; as soluções são números complexos.

Passo 3

Segundo, vamos determinar o vértice da parábola. O vértice de uma função quadrática na forma está localizado nas coordenadas:
Com e :
Para encontrar , substituímos na função:
Portanto, o vértice está no ponto .

Passo 4

Por fim, para esboçar o gráfico da função, podemos considerar que é uma parábola, já que é uma função quadrática. O coeficiente de , que é , é negativo, o que indica que a parábola abre para baixo.
Sabemos que o vértice é o ponto mais alto da parábola, e nesse caso, é .
Como não há raízes reais, a parábola não corta o eixo , apenas cruza o eixo no ponto onde , que já vimos ser o vértice.
Portanto, o gráfico será uma parábola invertida com vértice em e sem interseções com o eixo .

Resposta

As raízes da função são números complexos (não existem raízes reais). O vértice da parábola está no ponto . O gráfico é uma parábola que abre para baixo, com vértice em e sem interseções com o eixo .

Exercícios relacionados

As funções e são dadas por e . Determine o valor de sabendo que .
Para cada uma das funções a seguir, encontre as raízes, os interceptos no eixo , esboce o gráfico e explicite os intervalos de crescimento e decrescimento.
Se é tal que e , calcule o valor de .
Seja , em que . Esta é uma função polinomial de grau 1 (ou afim se e linear caso ). Seu gráfico é uma reta. Pede-se:
Onde as retas obtidas acima interceptam o eixo (eixo das ordenadas)? Há alguma relação com o valor adotado por ? Por que isto ocorre? Como o valor é chamado? Mantendo fixo e variando o valor de o que ocorre com as retas resultantes? Como o valor é chamado?