Para cada uma das funções a seguir, encontre as raízes, os interceptos no eixo , esboce o gráfico e explicite os intervalos de crescimento e decrescimento.

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para analisarmos a função . A gente vai precisar entender sobre raízes de funções, interceptos, como esboçar o gráfico e identificar onde a função está crescendo ou diminuindo. Basicamente, vamos mexer com polinômios do segundo grau.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar as raízes da função, ou seja, os valores de que fazem . Isso significa resolver a equação quadrática:
Podemos usar a fórmula de Bhaskara para resolver essa equação:
Aqui, , e .
Calculando o discriminante ( ):
Como , temos duas raízes reais:
Então:

Passo 3

Agora, vamos encontrar o intercepto no eixo . Isso acontece quando . Substituindo na função:
Então, o intercepto no eixo é .

Passo 4

Vamos esboçar o gráfico da função . Sabemos que é uma parábola que abre para cima porque o coeficiente de é positivo.
Pontos importantes para o esboço:
  • Raízes: e
  • Intercepto no :
  • Vértice: Podemos encontrar a coordenada do vértice usando . Para :
Então, o vértice é .

Passo 5

Vamos determinar os intervalos de crescimento e decrescimento. Para isso, analisamos a derivada da função. A derivada de é:
  • Quando , a função está crescendo:
  • Quando , a função está diminuindo:

Resposta

As raízes da função são e . O intercepto no eixo é . O gráfico é uma parábola que abre para cima, com vértice em . A função está crescendo no intervalo e decrescendo no intervalo .

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Para cada uma das funções quadráticas a seguir, encontre as raízes, determine o vértice e esboce o gráfico