Para cada uma das funções reais
abaixo, determine seu domínio, sua imagem, seu período, os intervalos nos quais a função é positiva, negativa, crescente e decrescente. Além disso, analise sua paridade (par ou ímpar) e esboce o seu gráfico.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa analisar a função
. O que a gente vai fazer aqui é descobrir:
- Domínio: onde a função está definida.
- Imagem: quais valores a função pode assumir.
- Período: quanto tempo leva para a função se repetir.
- Intervalos onde a função é positiva e negativa.
- Intervalos onde a função está crescendo e decrescendo.
- Paridade: se a função é par, ímpar ou nenhuma das duas.
- Esboço do gráfico.
Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre funções trigonométricas, especialmente o cosseno, e como suas transformações afetam essas características.
Passo 2
Domínio:
O domínio de uma função é o conjunto de todos os valores de
para os quais a função está definida. No caso do cosseno, a função
está definida para todos os números reais. Então, qualquer transformação não restringe o domínio.
Passo 3
Imagem:
A imagem de uma função é o conjunto de todos os valores que a função pode assumir. A função cosseno padrão,
, varia entre -1 e 1. Quando multiplicamos por 3, isso amplia a amplitude para:
Depois, adicionamos 7 a tudo, então:
Passo 4
Período:
O período de uma função trigonométrica é o intervalo em que a função completa um ciclo completo de variação. Para o cosseno padrão
, o período é
. Quando a função é da forma
, o período muda para
.
Na nossa função, não temos nenhum fator multiplicando
além de 1, então:
Passo 5
Sinais da Função (Positiva e Negativa):
Vamos descobrir onde
é positiva ou negativa.
Como já vimos, a imagem está entre 4 e 10. Isso significa que
nunca é negativa porque o menor valor que ela atinge é 4, que é positivo. Portanto:
Passo 6
Crescimento e Decrescimento:
Para entender onde a função está crescendo ou decrescendo, precisamos olhar para a derivada da função ou analisar o comportamento do cosseno.
Sabemos que
é decrescente em
e crescente em
. Como multiplicamos por 3 e adicionamos 7, isso não altera os intervalos de crescimento e decrescimento.
Portanto:
Passo 7
Paridade da Função:
Uma função é par se
e ímpar se
. Vamos verificar:
Sabemos que
, então:
Isso não é igual a
nem a
, então a função não é nem par nem ímpar.
Passo 8
Esboço do Gráfico:
Para esboçar o gráfico de
, vamos considerar as transformações:
- Amplitude: 3 (o gráfico oscila 3 unidades acima e abaixo da linha média).
- Deslocamento Horizontal:
para a direita (por causa do ). - Deslocamento Vertical: 7 unidades para cima.
Então, o gráfico será uma onda de cosseno com amplitude 3, centrada na linha
, e deslocada
para a direita.
Resposta
Resumindo:
- Domínio:
- Imagem:
- Período:
- Sinais: Sempre positiva
- Crescimento:
- Decrescimento:
- Paridade: Nem par nem ímpar
- Gráfico: Uma onda de cosseno com amplitude 3, centrada em
, e deslocada para a direita.
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abaixo, determine seu domínio, sua imagem, seu período, os intervalos nos quais a função é positiva, negativa, crescente e decrescente. Além disso, analise sua paridade (par ou ímpar) e esboce o seu gráfico.
Dada a função
, determine as assíntotas verticais, horizontais ou inclinadas quando existirem. Encontre os valores críticos de primeira e segunda ordens, os extremos relativos e absolutos (caso existam), os intervalos de crescimento, de decrescimento, pontos de inflexão e intervalos de concavidade e, esboce o gráfico da função indicando os interceptos ox e oy.
c)
c)
Determine se as seguintes séries são convergentes ou divergentes. Se converge, calcule o valor da soma.
Para cada uma das funções reais
abaixo, determine seu domínio, sua imagem, seu período, os intervalos nos quais a função é positiva, negativa, crescente e decrescente. Além disso, analise sua paridade (par ou ímpar) e esboce o seu gráfico.