Para cada uma das funções reais f abaixo, determine seu domínio, sua imagem, seu período, os intervalos nos quais a função é positiva, negativa, crescente e decrescente. Além disso, analise sua paridade (par ou ímpar) e esboce o seu gráfico.
f(x) = 3 cos(x - pi/4) + 7

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa analisar a função . O que a gente vai fazer aqui é descobrir:
  • Domínio: onde a função está definida.
  • Imagem: quais valores a função pode assumir.
  • Período: quanto tempo leva para a função se repetir.
  • Intervalos onde a função é positiva e negativa.
  • Intervalos onde a função está crescendo e decrescendo.
  • Paridade: se a função é par, ímpar ou nenhuma das duas.
  • Esboço do gráfico.
Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre funções trigonométricas, especialmente o cosseno, e como suas transformações afetam essas características.

Passo 2

Domínio:
O domínio de uma função é o conjunto de todos os valores de para os quais a função está definida. No caso do cosseno, a função está definida para todos os números reais. Então, qualquer transformação não restringe o domínio.
í

Passo 3

Imagem:
A imagem de uma função é o conjunto de todos os valores que a função pode assumir. A função cosseno padrão, , varia entre -1 e 1. Quando multiplicamos por 3, isso amplia a amplitude para:
Depois, adicionamos 7 a tudo, então:

Passo 4

Período:
O período de uma função trigonométrica é o intervalo em que a função completa um ciclo completo de variação. Para o cosseno padrão , o período é . Quando a função é da forma , o período muda para .
Na nossa função, não temos nenhum fator multiplicando além de 1, então:
í

Passo 5

Sinais da Função (Positiva e Negativa):
Vamos descobrir onde é positiva ou negativa.
Como já vimos, a imagem está entre 4 e 10. Isso significa que nunca é negativa porque o menor valor que ela atinge é 4, que é positivo. Portanto:
é

Passo 6

Crescimento e Decrescimento:
Para entender onde a função está crescendo ou decrescendo, precisamos olhar para a derivada da função ou analisar o comportamento do cosseno.
Sabemos que é decrescente em e crescente em . Como multiplicamos por 3 e adicionamos 7, isso não altera os intervalos de crescimento e decrescimento.
Portanto:
é
é

Passo 7

Paridade da Função:
Uma função é par se e ímpar se . Vamos verificar:
Sabemos que , então:
Isso não é igual a nem a , então a função não é nem par nem ímpar.
ãéí

Passo 8

Esboço do Gráfico:
Para esboçar o gráfico de , vamos considerar as transformações:
  1. Amplitude: 3 (o gráfico oscila 3 unidades acima e abaixo da linha média).
  2. Deslocamento Horizontal: para a direita (por causa do ).
  3. Deslocamento Vertical: 7 unidades para cima.
Então, o gráfico será uma onda de cosseno com amplitude 3, centrada na linha , e deslocada para a direita.

Resposta

Resumindo:
  • Domínio:
  • Imagem:
  • Período:
  • Sinais: Sempre positiva
  • Crescimento:
  • Decrescimento:
  • Paridade: Nem par nem ímpar
  • Gráfico: Uma onda de cosseno com amplitude 3, centrada em , e deslocada para a direita.

Exercícios relacionados

Para cada uma das funções reais f abaixo, determine seu domínio, sua imagem, seu período, os intervalos nos quais a função é positiva, negativa, crescente e decrescente. Além disso, analise sua paridade (par ou ímpar) e esboce o seu gráfico.
f(x) = 4 sen(2 x)
Dada a função f(x), determine as assíntotas verticais, horizontais ou inclinadas quando existirem. Encontre os valores críticos de primeira e segunda ordens, os extremos relativos e absolutos (caso existam), os intervalos de crescimento, de decrescimento, pontos de inflexão e intervalos de concavidade e, esboce o gráfico da função indicando os interceptos ox e oy.
c) f(x) = raiz(2x^2 + 1) / (x - 1)
Determine se as seguintes séries são convergentes ou divergentes. Se converge, calcule o valor da soma. sumn=1^infty cos ^2 nn^3 / 2
Para cada uma das funções reais f abaixo, determine seu domínio, sua imagem, seu período, os intervalos nos quais a função é positiva, negativa, crescente e decrescente. Além disso, analise sua paridade (par ou ímpar) e esboce o seu gráfico.
f(x) = tan(2x - pi/2)