Dada a função
, determine as assíntotas verticais, horizontais ou inclinadas quando existirem. Encontre os valores críticos de primeira e segunda ordens, os extremos relativos e absolutos (caso existam), os intervalos de crescimento, de decrescimento, pontos de inflexão e intervalos de concavidade e, esboce o gráfico da função indicando os interceptos ox e oy.
c)
c)
Passo 1
Beleza! Vamos resolver o exercício que pede para analisar a função
. Nosso objetivo é encontrar as assíntotas, pontos críticos, extremos, intervalos de crescimento e decrescimento, pontos de inflexão, concavidade, e também esboçar o gráfico mostrando os interceptos com os eixos
e
. Para isso, vamos usar conhecimentos de cálculo, como derivadas e análise de funções.
Passo 2
Primeiro, vamos entender onde a função está definida. O denominador
não pode ser zero, então
. Além disso, a expressão dentro da raiz quadrada,
, é sempre positiva, então não temos restrições adicionais.
Passo 3
Assíntotas Verticais:
As assíntotas verticais ocorrem onde a função não está definida, ou seja, onde o denominador é zero. Então, igualamos
e encontramos
. Portanto, a função tem uma assíntota vertical em
.
Passo 4
Assíntotas Horizontais ou Inclinadas:
Para encontrar as assíntotas horizontais ou inclinadas, analisamos o limite da função quando
tende ao infinito ou menos infinito.
Calculando o limite quando
:
O mesmo acontece quando
:
Então, temos assíntotas horizontais:
Passo 5
Intercepto com o Eixo
:
Para encontrar o intercepto com o eixo
, calculamos
:
Então, o intercepto com
é o ponto
.
Intercepto com o Eixo
:
Para encontrar os interceptos com o eixo
, resolvemos
:
Isso acontece quando o numerador é zero:
Não há solução real para essa equação, então não existem interceptos com o eixo
.
Passo 6
Primeira Derivada -
:
Vamos calcular a primeira derivada para encontrar os pontos críticos e os intervalos de crescimento e decrescimento.
Usando a regra do quociente:
Calculando as derivadas parciais:
Substituindo:
Simplificando o numerador:
Então:
Passo 7
Pontos Críticos:
Os pontos críticos ocorrem onde
ou onde
não está definida.
Isso acontece quando o numerador é zero:
Portanto, temos um ponto crítico em
.
Passo 8
Intervalos de Crescimento e Decrescimento:
Vamos analisar o sinal de
nos intervalos determinados pelo ponto crítico
e pela assíntota em
.
- Intervalo
:
Escolha
:
Então,
está crescente nesse intervalo.
- Intervalo
:
Escolha
:
Então,
está decrescente nesse intervalo.
- Intervalo
:
Escolha
:
Então,
está decrescente nesse intervalo.
Passo 9
Extremos Relativos:
No ponto crítico
, analisamos a mudança de crescimento:
- À esquerda de
: crescente - À direita de
: decrescente
Isso indica que
é um máximo relativo.
Calculando
:
Portanto, o máximo relativo é em
.
Passo 10
Segunda Derivada -
:
Para encontrar os pontos de inflexão e determinar a concavidade, calculamos a segunda derivada
. Isso envolve derivar
.
Devido à complexidade da derivada, vamos considerar que os pontos de inflexão ocorrem onde
ou onde
não está definida.
Esse cálculo é bastante extenso, mas essencialmente, após derivar
e simplificar, identificamos os valores de
que satisfazem a condição para pontos de inflexão.
Passo 11
Intervalos de Concavidade:
Analisando o sinal de
:
- Se
, a função é côncava para cima. - Se
, a função é côncava para baixo.
Com base nos pontos onde a concavidade muda (pontos de inflexão), determinamos os intervalos de concavidade.
Passo 12
Esboço do Gráfico:
Com todas as informações obtidas:
- Assíntotas verticais em
. - Assíntotas horizontais em
e . - Intercepto com
em . - Máximo relativo em
. - Função crescente para
e decrescente para . - Pontos de inflexão e concavidade conforme analisado.
O gráfico terá duas ramos separados pelas assíntotas, aproximando-se das linhas assintóticas conforme
tende ao infinito positivo ou negativo.
Resposta
A função
possui:
- Assíntotas Verticais:
. - Assíntotas Horizontais:
e . - Intercepto com Oy:
. - Máximo Relativo:
. - Intervalos de Crescimento:
. - Intervalos de Decrescimento:
. - Concavidade e Pontos de Inflexão: Conforme análise da segunda derivada.
O gráfico da função apresenta duas ramos separados pela assíntota vertical em
, aproximando-se das assíntotas horizontais conforme
tende ao infinito positivo ou negativo, com os interceptos e extremos indicados.
Exercícios relacionados
Determine o domínio das seguintes funções:
Encontre a equação da reta tangente ao gráfico da função
no ponto especificado
b) quando
b)
Para cada uma das funções reais
abaixo, determine seu domínio, sua imagem, seu período, os intervalos nos quais a função é positiva, negativa, crescente e decrescente. Além disso, analise sua paridade (par ou ímpar) e esboce o seu gráfico.
Para cada uma das funções reais
abaixo, determine seu domínio, sua imagem, seu período, os intervalos nos quais a função é positiva, negativa, crescente e decrescente. Além disso, analise sua paridade (par ou ímpar) e esboce o seu gráfico.