Para cada uma das funções reais
abaixo, determine seu domínio, sua imagem, seu período, os intervalos nos quais a função é positiva, negativa, crescente e decrescente. Além disso, analise sua paridade (par ou ímpar) e esboce o seu gráfico.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente tem a função real
e precisa descobrir várias coisas sobre ela: o domínio, a imagem, o período, onde ela é positiva ou negativa, onde está crescendo ou decrescendo, se ela é par ou ímpar, e também esboçar o gráfico. Pra resolver isso, vamos precisar lembrar um pouco sobre funções trigonométricas, especialmente a tangente, e como alterar seus parâmetros afeta suas propriedades.
Passo 2
Primeiro, vamos determinar o domínio da função. O domínio de uma função é o conjunto de todos os valores de
para os quais a função está definida. Sabemos que a tangente não está definida quando o cosseno é zero, ou seja, quando o argumento da tangente é
, onde
é qualquer inteiro.
Então, para
, queremos evitar que
.
Resolvendo para :
Resolvendo para
Então, o domínio é todos os reais exceto
, onde
é inteiro.
Passo 3
Agora, vamos para a imagem da função. A imagem de
é todos os números reais, porque a tangente pode assumir qualquer valor real. Como nossa função é uma transformação da tangente, a imagem também será
.
Passo 4
Vamos determinar o período da função. A tangente básica tem período
, mas quando a função está na forma
, o período é
.
Na nossa função, temos
, o coeficiente de
é 2, então o período será:
Passo 5
Agora, vamos descobrir em quais intervalos a função é positiva ou negativa. A tangente é positiva onde o seno e o cosseno têm o mesmo sinal, e negativa onde têm sinais opostos.
Para
, isso depende do argumento
. Podemos analisar os intervalos onde
é positivo ou negativo dentro de um período e depois aplicar isso ao nosso caso específico.
Passo 6
Vamos ver onde a função está crescendo ou decrescendo. A derivada da tangente é
, que é sempre positiva onde a função está definida. Então, a função tangente sempre está crescendo onde está definida.
No nosso caso,
também estará sempre crescendo onde está definida, pois a derivada será
, que é sempre positiva.
Passo 7
Sobre a paridade da função, uma função é par se
e ímpar se
. Vamos verificar:
Como
não é igual a
nem ao negativo dela, a função não é par nem ímpar.
Resposta
Resumindo, para a função
:
- Domínio:
exceto , onde é inteiro. - Imagem: Todos os números reais
. - Período:
. - Positiva e Negativa: Varia conforme os intervalos dentro de cada período, onde a tangente é positiva onde seno e cosseno têm mesmo sinal e negativa onde têm sinais opostos.
- Crescente: Sempre que está definida.
- Decrescente: Nunca.
- Paridade: A função não é par nem ímpar.
- Gráfico: Pode ser esboçado como a tangente deslocada e com um período reduzido, apresentando assíntotas verticais nos pontos onde a função não está definida.
Exercícios relacionados
Determine se as seguintes séries são convergentes ou divergentes. Se converge, calcule o valor da soma.
Para cada uma das funções reais
abaixo, determine seu domínio, sua imagem, seu período, os intervalos nos quais a função é positiva, negativa, crescente e decrescente. Além disso, analise sua paridade (par ou ímpar) e esboce o seu gráfico.
Determine se as seguintes séries convergem ou divergem.
.
Para cada uma das funções reais
abaixo, determine seu domínio, sua imagem, seu período, os intervalos nos quais a função é positiva, negativa, crescente e decrescente. Além disso, analise sua paridade (par ou ímpar) e esboce o seu gráfico.