Para cada uma das funções reais f abaixo, determine seu domínio, sua imagem, seu período, os intervalos nos quais a função é positiva, negativa, crescente e decrescente. Além disso, analise sua paridade (par ou ímpar) e esboce o seu gráfico.
f(x) = tan(2x - pi/2)

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente tem a função real e precisa descobrir várias coisas sobre ela: o domínio, a imagem, o período, onde ela é positiva ou negativa, onde está crescendo ou decrescendo, se ela é par ou ímpar, e também esboçar o gráfico. Pra resolver isso, vamos precisar lembrar um pouco sobre funções trigonométricas, especialmente a tangente, e como alterar seus parâmetros afeta suas propriedades.

Passo 2

Primeiro, vamos determinar o domínio da função. O domínio de uma função é o conjunto de todos os valores de para os quais a função está definida. Sabemos que a tangente não está definida quando o cosseno é zero, ou seja, quando o argumento da tangente é , onde é qualquer inteiro.
Então, para , queremos evitar que .
Resolvendo para :
Então, o domínio é todos os reais exceto , onde é inteiro.

Passo 3

Agora, vamos para a imagem da função. A imagem de é todos os números reais, porque a tangente pode assumir qualquer valor real. Como nossa função é uma transformação da tangente, a imagem também será .

Passo 4

Vamos determinar o período da função. A tangente básica tem período , mas quando a função está na forma , o período é .
Na nossa função, temos , o coeficiente de é 2, então o período será:

Passo 5

Agora, vamos descobrir em quais intervalos a função é positiva ou negativa. A tangente é positiva onde o seno e o cosseno têm o mesmo sinal, e negativa onde têm sinais opostos.
Para , isso depende do argumento . Podemos analisar os intervalos onde é positivo ou negativo dentro de um período e depois aplicar isso ao nosso caso específico.

Passo 6

Vamos ver onde a função está crescendo ou decrescendo. A derivada da tangente é , que é sempre positiva onde a função está definida. Então, a função tangente sempre está crescendo onde está definida.
No nosso caso, também estará sempre crescendo onde está definida, pois a derivada será , que é sempre positiva.

Passo 7

Sobre a paridade da função, uma função é par se e ímpar se . Vamos verificar:
Como não é igual a nem ao negativo dela, a função não é par nem ímpar.

Resposta

Resumindo, para a função :
  • Domínio: exceto , onde é inteiro.
  • Imagem: Todos os números reais .
  • Período: .
  • Positiva e Negativa: Varia conforme os intervalos dentro de cada período, onde a tangente é positiva onde seno e cosseno têm mesmo sinal e negativa onde têm sinais opostos.
  • Crescente: Sempre que está definida.
  • Decrescente: Nunca.
  • Paridade: A função não é par nem ímpar.
  • Gráfico: Pode ser esboçado como a tangente deslocada e com um período reduzido, apresentando assíntotas verticais nos pontos onde a função não está definida.

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Determine se as seguintes séries são convergentes ou divergentes. Se converge, calcule o valor da soma. sumn=1^infty cos ^2 nn^3 / 2
Para cada uma das funções reais f abaixo, determine seu domínio, sua imagem, seu período, os intervalos nos quais a função é positiva, negativa, crescente e decrescente. Além disso, analise sua paridade (par ou ímpar) e esboce o seu gráfico.
f(x) = 3 cos(x - pi/4) + 7
Determine se as seguintes séries convergem ou divergem. sumn=1^infty(1-2n)^n^2.
Para cada uma das funções reais f abaixo, determine seu domínio, sua imagem, seu período, os intervalos nos quais a função é positiva, negativa, crescente e decrescente. Além disso, analise sua paridade (par ou ímpar) e esboce o seu gráfico.
f(x) = -3 * csc(x - pi)