Para cada uma das funções reais f abaixo, determine seu domínio, sua imagem, seu período, os intervalos nos quais a função é positiva, negativa, crescente e decrescente. Além disso, analise sua paridade (par ou ímpar) e esboce o seu gráfico.
f(x) = 4 sen(2 x)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem a função . O que a gente precisa descobrir aqui é o domínio, a imagem, o período, onde a função é positiva ou negativa, onde ela está aumentando ou diminuindo, se ela é par ou ímpar, e também esboçar o gráfico. Para isso, vamos usar conceitos de funções trigonométricas, em especial do seno, e aplicar um pouco de cálculo básico.

Passo 2

Domínio da função
O domínio é o conjunto de todos os valores de para os quais a função está definida. Como a função seno está definida para todos os números reais, multiplicar por 4 e ter dentro do seno não altera isso.
Então, o domínio de é:
í
(ou seja, todos os números reais).

Passo 3

Imagem da função
A imagem é o conjunto de todos os possíveis valores que a função pode assumir. Sabemos que sempre varia entre -1 e 1. Multiplicando por 4, a amplitude muda.
Então:
Portanto, a imagem é:

Passo 4

Período da função
O período de é . Quando temos , o período muda para . Aqui, .
Então:
í

Passo 5

Intervalos onde a função é positiva e negativa
A função é positiva quando está entre e , e negativa entre e . Isso se repete a cada período .
Então:
  • Positiva:
  • Negativa:
Onde é qualquer inteiro.

Passo 6

Intervalos onde a função é crescente e decrescente
Para descobrir onde a função está aumentando ou diminuindo, vamos derivar ela:
Agora, analisamos o sinal da derivada:
  • Crescente quando :
  • Decrescente quando :
Onde é qualquer inteiro.

Passo 7

Paridade da função
Para verificar se a função é par, ímpar ou nenhuma das duas, analisamos :
Como , a função é ímpar.

Passo 8

Esboço do gráfico
A função é uma senoide com amplitude 4 e período . Isso significa que a curva oscila entre -4 e 4, completando um ciclo a cada unidades no eixo . Ela começa no ponto (0,0), atinge o ponto máximo 4 em , cruza de volta por zero em , atinge o mínimo -4 em e retorna a zero em , repetindo esse padrão.

Resposta

A função tem:
  • Domínio:
  • Imagem:
  • Período:
  • Étnica positiva:
  • Étnica negativa:
  • Crescente:
  • Decrescente:
  • Paridade: Ímpar
O gráfico é uma senoide com amplitude 4 e período , oscilando entre -4 e 4 a cada ciclo.

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c) f(x) = raiz(2x^2 + 1) / (x - 1)
Determine o domínio das seguintes funções:
f(x) = 3 * |cos(x)| - 1
Para cada uma das funções reais f abaixo, determine seu domínio, sua imagem, seu período, os intervalos nos quais a função é positiva, negativa, crescente e decrescente. Além disso, analise sua paridade (par ou ímpar) e esboce o seu gráfico.
f(x) = 3 cos(x - pi/4) + 7
Determine se as seguintes séries são convergentes ou divergentes. Se converge, calcule o valor da soma. sumn=1^infty cos ^2 nn^3 / 2