Para cada uma das funções reais
abaixo, determine seu domínio, sua imagem, seu período, os intervalos nos quais a função é positiva, negativa, crescente e decrescente. Além disso, analise sua paridade (par ou ímpar) e esboce o seu gráfico.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem a função . O que a gente precisa descobrir aqui é o domínio, a imagem, o período, onde a função é positiva ou negativa, onde ela está aumentando ou diminuindo, se ela é par ou ímpar, e também esboçar o gráfico. Para isso, vamos usar conceitos de funções trigonométricas, em especial do seno, e aplicar um pouco de cálculo básico.
Passo 2
Domínio da função
O domínio é o conjunto de todos os valores de
para os quais a função está definida. Como a função seno está definida para todos os números reais, multiplicar por 4 e ter
dentro do seno não altera isso.
Então, o domínio de é:
(ou seja, todos os números reais).
Passo 3
Imagem da função
A imagem é o conjunto de todos os possíveis valores que a função pode assumir. Sabemos que sempre varia entre -1 e 1. Multiplicando por 4, a amplitude muda.
Então:
Portanto, a imagem é:
Passo 4
Período da função
O período de é
. Quando temos , o período muda para
. Aqui,
.
Então:
Passo 5
Intervalos onde a função é positiva e negativa
A função é positiva quando
está entre
e
, e negativa entre
e
. Isso se repete a cada período
.
Então:
- Positiva:
- Negativa:
Onde
é qualquer inteiro.
Passo 6
Intervalos onde a função é crescente e decrescente
Para descobrir onde a função está aumentando ou diminuindo, vamos derivar ela:
Agora, analisamos o sinal da derivada:
-
Crescente quando
: -
Decrescente quando
:
Onde
é qualquer inteiro.
Passo 7
Paridade da função
Para verificar se a função é par, ímpar ou nenhuma das duas, analisamos
:
Como
, a função é ímpar.
Passo 8
Esboço do gráfico
A função é uma senoide com amplitude 4 e período
. Isso significa que a curva oscila entre -4 e 4, completando um ciclo a cada
unidades no eixo
. Ela começa no ponto (0,0), atinge o ponto máximo 4 em
, cruza de volta por zero em
, atinge o mínimo -4 em
e retorna a zero em
, repetindo esse padrão.
Resposta
A função tem:
- Domínio:
- Imagem:
- Período:
- Étnica positiva:
- Étnica negativa:
- Crescente:
- Decrescente:
- Paridade: Ímpar
O gráfico é uma senoide com amplitude 4 e período
, oscilando entre -4 e 4 a cada ciclo.
Exercícios relacionados
Dada a função
, determine as assíntotas verticais, horizontais ou inclinadas quando existirem. Encontre os valores críticos de primeira e segunda ordens, os extremos relativos e absolutos (caso existam), os intervalos de crescimento, de decrescimento, pontos de inflexão e intervalos de concavidade e, esboce o gráfico da função indicando os interceptos ox e oy.
c)
c)
Determine o domínio das seguintes funções:
Para cada uma das funções reais
abaixo, determine seu domínio, sua imagem, seu período, os intervalos nos quais a função é positiva, negativa, crescente e decrescente. Além disso, analise sua paridade (par ou ímpar) e esboce o seu gráfico.
Determine se as seguintes séries são convergentes ou divergentes. Se converge, calcule o valor da soma.