Determine se as seguintes séries são convergentes ou divergentes. Se converge, calcule o valor da soma.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente descobrir se a série
converge ou diverge. Se ela convergir, a gente também precisa calcular a soma. Vamos usar conhecimentos de séries infinitas e algumas propriedades trigonométricas pra resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a parte do
. Sabemos que:
Então, substituindo na série original:
Passo 3
Agora, vamos analisar cada uma dessas duas séries separadamente.
A primeira série é
, que é uma série p com
. Sabemos que séries p com
convergem.
Passo 4
A segunda série é
. Aqui, usamos o Teste de Dirichlet, que diz que se
é decrescente e tende a zero, e a soma parcial de
é limitada, então a série
converge.
No nosso caso,
é decrescente e tende a zero, e
tem soma parcial limitada. Então, a segunda série também converge.
Passo 5
Assim, ambas as séries que compõem nossa série original convergem, o que significa que a série inteira
converge.
Passo 6
Para calcular a soma, usamos a expressão que obtivemos:
A primeira soma é a função zeta de Riemann
, e a segunda soma envolve séries de Fourier que têm valores específicos, mas geralmente não têm uma expressão fechada simples.
Resposta
A série
converge, e a sua soma pode ser expressa como:
Onde
é a função zeta de Riemann.
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Para cada uma das funções reais
abaixo, determine seu domínio, sua imagem, seu período, os intervalos nos quais a função é positiva, negativa, crescente e decrescente. Além disso, analise sua paridade (par ou ímpar) e esboce o seu gráfico.
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Determine se as seguintes séries convergem ou divergem.
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