Determine se as seguintes séries são convergentes ou divergentes. Se converge, calcule o valor da soma. sumn=1^infty cos ^2 nn^3 / 2

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente descobrir se a série converge ou diverge. Se ela convergir, a gente também precisa calcular a soma. Vamos usar conhecimentos de séries infinitas e algumas propriedades trigonométricas pra resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a parte do cos^2 n = 1 + cos 2n2 . Sabemos que:
sumn=1^infty cos^2 nn^3/2 = sumn=1^infty 1 + cos 2n2n^3/2 = 12 sumn=1^infty 1n^3/2 + 12 sumn=1^infty cos 2nn^3/2
Então, substituindo na série original:

Passo 3

Agora, vamos analisar cada uma dessas duas séries separadamente.
A primeira série é , que é uma série p com . Sabemos que séries p com convergem.

Passo 4

A segunda série é . Aqui, usamos o Teste de Dirichlet, que diz que se é decrescente e tende a zero, e a soma parcial de é limitada, então a série converge.
No nosso caso, é decrescente e tende a zero, e tem soma parcial limitada. Então, a segunda série também converge.

Passo 5

Assim, ambas as séries que compõem nossa série original convergem, o que significa que a série inteira converge.

Passo 6

Para calcular a soma, usamos a expressão que obtivemos:
12 sumn=1^infty 1n^3/2 + 12 sumn=1^infty cos 2nn^3/2
A primeira soma é a função zeta de Riemann , e a segunda soma envolve séries de Fourier que têm valores específicos, mas geralmente não têm uma expressão fechada simples.

Resposta

A série 12 zeta(32) + 12 sumn=1^infty cos 2nn^3/2 converge, e a sua soma pode ser expressa como:
Onde é a função zeta de Riemann.

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