Determine se as seguintes séries convergem ou divergem.
.
Passo 1
Vamos lá! O exercício que você me enviou pede para determinar se a série
converge ou diverge. Para resolver isso, vamos utilizar conhecimentos de séries infinitas e testes de convergência, como o Teste da Série Geométrica e o Teste da Razão. Vamos passo a passo entender como analisar essa série.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o termo geral da série, que é
. Nossa meta é entender o comportamento desse termo quando
tende ao infinito.
Passo 3
Para simplificar, vamos considerar o limite de
quando
tende ao infinito. Podemos usar a propriedade dos logaritmos para facilitar a análise:
Passo 4
Vamos expandir o logaritmo usando a série de Taylor para
, que é válida para
:
Aplicando isso, temos:
Para grandes valores de
, os termos de ordem superior (
,
, etc.) são negligenciáveis, então podemos aproximar:
Passo 5
Substituindo de volta na expressão original:
Portanto:
Passo 6
Agora, observamos que
se comporta aproximadamente como
para grandes
. A série então se assemelha a:
Passo 7
A série
é uma Série Geométrica com razão
. Sabemos que uma série geométrica converge se
. Como
, a série converge.
Passo 8
Como nossa série original
se comporta de forma semelhante a uma série geométrica convergente, concluímos que ela também converge.
Resposta
A série
converge.
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Esboce os gráficos das seguintes funções: