Determine se as seguintes séries convergem ou divergem. sumn=1^infty(1-2n)^n^2.

Passo 1

Vamos lá! O exercício que você me enviou pede para determinar se a série sumn=1^infty(1-2n)^n^2 converge ou diverge. Para resolver isso, vamos utilizar conhecimentos de séries infinitas e testes de convergência, como o Teste da Série Geométrica e o Teste da Razão. Vamos passo a passo entender como analisar essa série.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o termo geral da série, que é (1-2n)^n^2. Nossa meta é entender o comportamento desse termo quando n tende ao infinito.

Passo 3

Para simplificar, vamos considerar o limite de (1-2n)^n^2 quando n tende ao infinito. Podemos usar a propriedade dos logaritmos para facilitar a análise:
ln((1-2n)^n^2) = n^2 cdot ln(1-2n)

Passo 4

Vamos expandir o logaritmo usando a série de Taylor para ln(1 - x), que é válida para |x| < 1:
ln(1 - x) = -x - x^22 - x^33 - cdots
Aplicando isso, temos:
ln(1 - 2n) = -2n - 2^22n^2 - 2^33n^3 - cdots
Para grandes valores de n, os termos de ordem superior ( n^-3, n^-4, etc.) são negligenciáveis, então podemos aproximar:
ln(1 - 2n) approx -2n - 2n^2

Passo 5

Substituindo de volta na expressão original:
n^2 cdot ln(1 - 2n) approx n^2 (-2n - 2n^2) = -2n - 2
Portanto:
(1 - 2n)^n^2 approx e^-2n - 2 = e^-2n cdot e^-2

Passo 6

Agora, observamos que (1 - 2n)^n^2 se comporta aproximadamente como e^-2n para grandes n. A série então se assemelha a:
sumn=1^infty e^-2n

Passo 7

A série sumn=1^infty e^-2n é uma Série Geométrica com razão r = e^-2. Sabemos que uma série geométrica converge se |r| < 1. Como e^-2 approx 0,135 < 1, a série converge.

Passo 8

Como nossa série original sumn=1^infty(1-2n)^n^2 se comporta de forma semelhante a uma série geométrica convergente, concluímos que ela também converge.

Resposta

A série sumn=1^infty(1-2n)^n^2 converge.

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