Para cada uma das funções reais
abaixo, determine seu domínio, sua imagem, seu período, os intervalos nos quais a função é positiva, negativa, crescente e decrescente. Além disso, analise sua paridade (par ou ímpar) e esboce o seu gráfico.
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que envolve a função
. A gente precisa descobrir várias coisas sobre essa função: qual é o domínio (todos os x possíveis), a imagem (todos os y que ela pode dar), o período (quanto tempo leva para a função se repetir), onde a função é positiva ou negativa, onde ela está crescendo ou decrescendo, se ela é par ou ímpar, e por fim, desenhar o gráfico. Para isso, vamos usar conceitos de funções trigonométricas, especialmente a função cosecante.
Passo 2
Domínio
Primeiro, vamos encontrar o domínio da função. A função
é igual a
, então ela está indefinida quando
. Ou seja, precisamos determinar onde
, onde
é qualquer inteiro, porque
.
Então, as soluções são:
Portanto, o domínio de
é todos os números reais exceto onde
.
Passo 3
Imagem
A imagem da função
é todos os reais exceto os valores entre -1 e 1, porque como
, e
está entre -1 e 1, o inverso só pode ser menor que -1 ou maior que 1.
Como nossa função é
, vamos analisar os efeitos:
- O “-3” vai inverter os sinais (se antes era >1, agora será < -3 e vice-versa).
Então, a imagem deé:
Passo 4
Período
A função
tem período
, que é o intervalo após o qual a função se repete. Também, como estamos usando
, o deslocamento horizontal não afeta o período.
Portanto, o período de
é:
Passo 5
Intervalos onde a Função é Positiva e Negativa
Sabendo que
, vamos considerar onde
é positivo ou negativo:
-
é positivo quando está no 1º e 2º quadrante. - Como temos um “-3” na frente, isso inverte os sinais.
Então:
-
é positivo quando é negativo. -
é negativo quando é positivo.
Isso significa que:
-
nos intervalos onde está no 3º e 4º quadrante. -
nos intervalos onde está no 1º e 2º quadrante.
Passo 6
Intervalos onde a Função é Crescente e Decrescente
A derivada da fun��ão nos dirá onde ela está crescendo ou decrescendo. Vamos derivar
:
Agora, analisando o sinal de
:
- Quando
, a função está crescendo. - Quando
, a função está decrescendo.
Como
e
têm os mesmos sinais que
e
, respectivamente, podemos determinar onde a derivada é positiva ou negativa baseado nos quadrantes.
Passo 7
Paridade (Par ou Ímpar)
Para verificar se a função é par ou ímpar, vamos checar:
- Par:
- Ímpar:
Vamos calcular
:
Comparando com
, não é igual a
nem a
. Logo, a função não é nem par nem ímpar.
Passo 8
Esboço do Gráfico
Para esboçar o gráfico de
, considere:
- Assíntotas Verticais: Onde a função não está definida, ou seja, em
. - Comportamento nos Intervalos: Use os intervalos onde a função é positiva ou negativa para desenhar as curvas em cada parte.
- Amplitude e Reflexão: O fator “-3” reflete a função em relação ao eixo x e amplia a amplitude.
O gráfico terá curvas de
invertidas, com assíntotas em
, cruzando acima e abaixo dessas assíntotas de acordo com a positividade e negatividade determinadas.
Resposta
Para a função
:
- Domínio: Todos os números reais exceto
, onde é inteiro. - Imagem:
. - Período:
. - Função Positiva: Nos intervalos onde
está no 3º e 4º quadrante. - Função Negativa: Nos intervalos onde
está no 1º e 2º quadrante. - Crescente: Onde a derivada
, de acordo com os sinais de e . - Decrescente: Onde a derivada
. - Paridade: A função não é nem par nem ímpar.
- Gráfico: Apresenta curvas invertidas de
com assíntotas em e amplitudes ampliadas em 3 unidades.
Exercícios relacionados
Determine se as seguintes séries convergem ou divergem.
.
Para cada uma das funções reais
abaixo, determine seu domínio, sua imagem, seu período, os intervalos nos quais a função é positiva, negativa, crescente e decrescente. Além disso, analise sua paridade (par ou ímpar) e esboce o seu gráfico.
Esboce os gráficos das seguintes funções:
Calcule
sabendo que
e