Para cada uma das funções reais f abaixo, determine seu domínio, sua imagem, seu período, os intervalos nos quais a função é positiva, negativa, crescente e decrescente. Além disso, analise sua paridade (par ou ímpar) e esboce o seu gráfico.
f(x) = -3 * csc(x - pi)

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que envolve a função . A gente precisa descobrir várias coisas sobre essa função: qual é o domínio (todos os x possíveis), a imagem (todos os y que ela pode dar), o período (quanto tempo leva para a função se repetir), onde a função é positiva ou negativa, onde ela está crescendo ou decrescendo, se ela é par ou ímpar, e por fim, desenhar o gráfico. Para isso, vamos usar conceitos de funções trigonométricas, especialmente a função cosecante.

Passo 2

Domínio
Primeiro, vamos encontrar o domínio da função. A função é igual a , então ela está indefinida quando . Ou seja, precisamos determinar onde , onde n é qualquer inteiro, porque .
Então, as soluções são:
Portanto, o domínio de f(x) é todos os números reais exceto onde .

Passo 3

Imagem
A imagem da função é todos os reais exceto os valores entre -1 e 1, porque como , e está entre -1 e 1, o inverso só pode ser menor que -1 ou maior que 1.
Como nossa função é , vamos analisar os efeitos:
  • O “-3” vai inverter os sinais (se antes era >1, agora será < -3 e vice-versa).
    Então, a imagem de f(x) é:

Passo 4

Período
A função tem período , que é o intervalo após o qual a função se repete. Também, como estamos usando , o deslocamento horizontal não afeta o período.
Portanto, o período de f(x) é:
í

Passo 5

Intervalos onde a Função é Positiva e Negativa
Sabendo que , vamos considerar onde é positivo ou negativo:
  • é positivo quando está no 1º e 2º quadrante.
  • Como temos um “-3” na frente, isso inverte os sinais.
Então:
  • f(x) é positivo quando é negativo.
  • f(x) é negativo quando é positivo.
Isso significa que:
  • nos intervalos onde está no 3º e 4º quadrante.
  • nos intervalos onde está no 1º e 2º quadrante.

Passo 6

Intervalos onde a Função é Crescente e Decrescente
A derivada da fun��ão nos dirá onde ela está crescendo ou decrescendo. Vamos derivar f(x):
Agora, analisando o sinal de :
  • Quando , a função está crescendo.
  • Quando , a função está decrescendo.
Como e têm os mesmos sinais que e , respectivamente, podemos determinar onde a derivada é positiva ou negativa baseado nos quadrantes.

Passo 7

Paridade (Par ou Ímpar)
Para verificar se a função é par ou ímpar, vamos checar:
  • Par:
  • Ímpar:
Vamos calcular :
Comparando com , não é igual a f(x) nem a -f(x). Logo, a função não é nem par nem ímpar.

Passo 8

Esboço do Gráfico
Para esboçar o gráfico de , considere:
  • Assíntotas Verticais: Onde a função não está definida, ou seja, em .
  • Comportamento nos Intervalos: Use os intervalos onde a função é positiva ou negativa para desenhar as curvas em cada parte.
  • Amplitude e Reflexão: O fator “-3” reflete a função em relação ao eixo x e amplia a amplitude.
O gráfico terá curvas de invertidas, com assíntotas em , cruzando acima e abaixo dessas assíntotas de acordo com a positividade e negatividade determinadas.

Resposta

Para a função :
  • Domínio: Todos os números reais exceto , onde n é inteiro.
  • Imagem: .
  • Período: .
  • Função Positiva: Nos intervalos onde está no 3º e 4º quadrante.
  • Função Negativa: Nos intervalos onde está no 1º e 2º quadrante.
  • Crescente: Onde a derivada , de acordo com os sinais de e .
  • Decrescente: Onde a derivada .
  • Paridade: A função não é nem par nem ímpar.
  • Gráfico: Apresenta curvas invertidas de com assíntotas em e amplitudes ampliadas em 3 unidades.

Exercícios relacionados

Determine se as seguintes séries convergem ou divergem. sumn=1^infty(1-2n)^n^2.
Para cada uma das funções reais f abaixo, determine seu domínio, sua imagem, seu período, os intervalos nos quais a função é positiva, negativa, crescente e decrescente. Além disso, analise sua paridade (par ou ímpar) e esboce o seu gráfico.
f(x) = tan(2x - pi/2)
Esboce os gráficos das seguintes funções:
f(x) = tan(2x - |x - 1|)
Calcule
sen(a) sabendo que tg(a) = b / c e 0 <= a <= pi / 2