Esboce os gráficos das seguintes funções:
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. A gente precisa esboçar o gráfico da função
. Pra fazer isso, vamos precisar conhecer funções trigonométricas, especificamente a função tangente, e também entender como trabalhar com valor absoluto. Vamos dividir isso em partes menores para deixar tudo mais claro!
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o que está dentro da tangente:
. O valor absoluto
muda de expressão dependendo de x ser menor que 1 ou maior ou igual a 1. Vamos separar esses dois casos:
-
Quando
: Então, substituindo na expressão: -
Quando
: Substituindo:
Então, nossa função fica dividida em duas partes:
Passo 3
Agora, vamos lembrar como é o gráfico da função tangente. A tangente tem assíntotas verticais onde o cosseno é zero, o que acontece em
, onde
é qualquer inteiro. Além disso, a tangente tem um período de
, ou seja, se repete a cada
unidades.
Vamos aplicar isso às duas partes da nossa função:
-
Para
: - A inclinação da tangente é 3x - 1, o que afeta a frequência e o deslocamento do gráfico.
- As assíntotas verticais ocorrem onde
.
-
Para
: - A inclinação é x + 1.
- As assíntotas verticais ocorrem onde
.
Passo 4
Vamos esboçar cada parte separadamente:
-
Para
: - Identificamos as assíntotas resolvendo
. - Plotamos alguns pontos chave dentro desse intervalo para ver como a tangente se comporta.
- Lembrando que a tangente passa por
quando , ou seja, .
- Identificamos as assíntotas resolvendo
-
Para
: - Fazemos o mesmo processo: encontramos as assíntotas resolvendo
. - Plotamos pontos chave e identificamos onde a função cruza o eixo
.
- Fazemos o mesmo processo: encontramos as assíntotas resolvendo
Passo 5
Depois de esboçar as duas partes, precisamos unir os gráficos respeitando o ponto de divisão em
. É importante verificar se há alguma discontinuidade ou ponto de transição interessante nesse ponto. Como a tangente pode ter comportamentos diferentes nos lados próximos a
, observamos como cada parte se aproxima desse ponto para garantir que o esboço esteja correto.
Resposta
Então, ao juntar tudo, o gráfico de
consiste em duas partes:
- Para
, temos a tangente de , com suas características de assíntotas e periodicidade ajustadas pela inclinação. - Para
, a função é a tangente de , também com suas próprias assíntotas e comportamento periódico.
O esboço final mostrará essas duas funções ajustadas de acordo com os intervalos definidos, mantendo as assíntotas verticais necessárias e os pontos onde a função cruza o eixo
. Lembre-se de marcar bem as assíntotas e os pontos de cruzamento para facilitar a visualização do gráfico completo.
Exercícios relacionados
Para cada uma das funções reais
abaixo, determine seu domínio, sua imagem, seu período, os intervalos nos quais a função é positiva, negativa, crescente e decrescente. Além disso, analise sua paridade (par ou ímpar) e esboce o seu gráfico.
Determine se as seguintes séries convergem ou divergem.
.
Calcule
sabendo que
e
Calcule