Para cada uma das funções reais abaixo, determine seu domínio, sua imagem, seu período, os intervalos nos quais a função é positiva, negativa, crescente e decrescente. Além disso, analise sua paridade (par ou ímpar) e esboce o seu gráfico.
Passo 1
Beleza, vamos analisar a função . O que precisamos fazer aqui é descobrir várias coisas sobre essa função: qual é o domínio (onde ela está definida), a imagem (os valores que ela pode assumir), o período (quanto tempo leva para se repetir), onde ela é positiva ou negativa, onde está crescendo ou decrescendo, se é par ou ímpar, e por fim, esboçar o gráfico. Vamos precisar usar alguns conceitos de trigonometria e análise de funções para resolver isso.
Passo 2
Dominio da função
Para encontrar o domínio da função , precisamos saber onde a função tangente está definida. A tangente de um ângulo é definida como . A tangente não está definida quando o denominador é zero, ou seja, quando .
Sabemos que quando , onde é qualquer número inteiro. Portanto, a função não está definida nesses pontos.
Conclusão: O domínio de é todos os números reais exceto onde , ou seja,
Passo 3
Imagem da função
A imagem de uma função é o conjunto de todos os valores que a função pode assumir. Sabemos que a função tangente pode assumir qualquer valor real, ou seja, sua imagem é . Como estamos aplicando o valor absoluto no argumento, mas a tangente ainda pode assumir todos os valores reais, a imagem da função também é:
Passo 4
Período da função
O período de uma função é o menor intervalo após o qual a função se repete. A função tangente tem um período de , o que significa que:
No caso da nossa função , o valor absoluto afeta apenas a direção do eixo , mas a periodicidade permanece a mesma. Portanto, o período da função é:
Passo 5
Intervalos onde a função é positiva e negativa
Para determinar onde é positiva ou negativa, vamos analisar o sinal da tangente em diferentes intervalos de .
Sabemos que:
quando e , etc.
quando e , etc.
Como temos , analisamos apenas e refletimos os resultados. Portanto:
Passo 6
Intervalos de crescimento e decrescimento
Para determinar onde a função está crescendo ou decrescendo, precisamos calcular a derivada de .
Primeiro, lembramos que a derivada da tangente é:
Agora, aplicando a regra da cadeia para :
Sabemos que:
Portanto:
ã
Sabemos que para todo no domínio da função. Assim:
Para , : a função está crescente.
Para , : a função está decrescente.
Conclusão:
Passo 7
Paridade da função
Uma função é par se para todo no domínio, e ímpar se .
Vamos verificar:
Como , a função é par.
Passo 8
Esboço do gráfico
Embora não possamos desenhar aqui, vamos descrever como é o gráfico de :
Período:
Assíntotas verticais: em , onde a função não está definida
Simetria: em relação ao eixo (função par)
Crescente: nos intervalos , , etc.
Decrescente: nos intervalos , , etc.
Comportamento: a função se aproxima das assíntotas verticais conforme se aproxima de
Resposta
A função possui domínio em exceto em , imagem , período , é positiva nos intervalos e negativa em . Está crescente em e decrescente em . A função é par e seu gráfico apresenta simetria em relação ao eixo com assíntotas verticais em .