Determine se as seguintes séries são convergentes ou divergentes. Se converge, calcule o valor da soma. sumn=1^infty n!e^n

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente descobrir se a série sumn=1^infty n!e^n converge ou diverge. A matéria aqui é sobre convergência de séries, e para resolver isso, vamos precisar entender como os termos da série se comportam conforme cresce e aplicar alguns testes de convergência.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que para uma série limn to infty n!e^n convergir, o limite do termo geral quando tende ao infinito precisa ser zero. Se esse limite for diferente de zero, a série diverge automaticamente. Então, nosso primeiro passo é calcular:

Passo 3

Agora, vamos analisar esse limite. Sabemos que n!e^n = 1 times 2 times 3 times dots times ne times e times e times dots times e = prodk=1^n ke (fatorial de ) cresce muito rápido, mais rápido até mesmo que funções exponenciais como . Para termos uma noção, conforme aumenta, se torna gigantesco comparado a .
Para ver isso matematicamente, podemos comparar os crescimentos:
À medida que aumenta, cada fração para (aproximadamente ) será maior que 1, fazendo com que o produto total aumente sem limites.

Passo 4

Portanto, o limite fica:
limn to infty n!e^n = infty
Como o limite do termo geral não é zero (na verdade, é infinito), de acordo com o Teste da Divergência, a série não converge.

Resposta

A série sumn=1^infty n!e^n diverge.

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Calcule
arctan(1) - arctan(-1)
Para cada uma das funções reais f abaixo, determine seu domínio, sua imagem, seu período, os intervalos nos quais a função é positiva, negativa, crescente e decrescente. Além disso, analise sua paridade (par ou ímpar) e esboce o seu gráfico.
f(x) = tan(|x|)
Esboce os gráficos das seguintes funções:
f(x) = |tan(x)|