Determine se as seguintes séries são convergentes ou divergentes. Se converge, calcule o valor da soma.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente descobrir se a série
converge ou diverge. A matéria aqui é sobre convergência de séries, e para resolver isso, vamos precisar entender como os termos da série se comportam conforme
cresce e aplicar alguns testes de convergência.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que para uma série
convergir, o limite do termo geral
quando
tende ao infinito precisa ser zero. Se esse limite for diferente de zero, a série diverge automaticamente. Então, nosso primeiro passo é calcular:
Passo 3
Agora, vamos analisar esse limite. Sabemos que
(fatorial de
) cresce muito rápido, mais rápido até mesmo que funções exponenciais como
. Para termos uma noção, conforme
aumenta,
se torna gigantesco comparado a
.
Para ver isso matematicamente, podemos comparar os crescimentos:
À medida que
aumenta, cada fração
para
(aproximadamente
) será maior que 1, fazendo com que o produto total aumente sem limites.
Passo 4
Portanto, o limite fica:
Como o limite do termo geral não é zero (na verdade, é infinito), de acordo com o Teste da Divergência, a série não converge.
Resposta
A série
diverge.
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Determine se as seguintes séries são convergentes ou divergentes. Se converge, calcule o valor da soma.
Calcule
Para cada uma das funções reais
abaixo, determine seu domínio, sua imagem, seu período, os intervalos nos quais a função é positiva, negativa, crescente e decrescente. Além disso, analise sua paridade (par ou ímpar) e esboce o seu gráfico.
Esboce os gráficos das seguintes funções: