Determine se as seguintes séries são convergentes ou divergentes. Se converge, calcule o valor da soma. sumn=1^infty 2^nn!

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente tem aqui é uma série infinita: sumn=1^infty 2^nn!. Nosso objetivo é descobrir se essa série converge (ou seja, se a soma dela dá um número finito) ou diverge (não encontra um valor finito). Se ela convergir, também vamos calcular qual é essa soma. Para isso, vamos usar alguns conceitos de séries e testes de convergência.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa uma série convergir ou divergir. Uma série infinita é a soma de infinitos termos. Se essa soma se aproxima de um número específico conforme adicionamos mais termos, dizemos que ela converge. Caso contrário, ela diverge. Para verificar isso, existem vários testes de convergência, como o teste da razão, que vamos utilizar aqui.

Passo 3

Vamos aplicar o Teste da Razão, que é útil para séries com termos que envolvem fatoriais ou potências. Esse teste funciona assim: calculamos o limite do valor absoluto da razão entre o termo seguinte e o termo atual quando L = limn to infty | an+1an | tende ao infinito. Se esse limite for menor que 1, a série converge absolutamente.
Matematicamente, é:
Se , a série converge.

Passo 4

Vamos identificar an = 2^nn! na nossa série:
an+1 = 2^n+1(n+1)! = 2 cdot 2^n(n+1) cdot n! = 2 cdot ann+1
Agora, vamos encontrar :

Passo 5

Agora, aplicamos o teste da razão:
L = limn to infty | an+1an | = limn to infty | 2 cdot an(n+1) cdot an | = limn to infty 2n+1
Simplificando, temos:
L = limn to infty 2n+1 = 0

Passo 6

Como e , pelo teste da razão, a série converge absolutamente. Isso significa que a soma dos termos da série se aproxima de um número finito.

Passo 7

Agora, para encontrar a soma da série, lembramos que a série da exponencial é:
sumn=0^infty x^nn! = e^x
No nosso caso, sumn=0^infty 2^nn! = e^2 , então:
sumn=1^infty 2^nn! = e^2 - 2^00! = e^2 - 1
Contudo, nossa série começa em , então precisamos subtrair o primeiro termo ( ):

Resposta

A série sumn=1^infty 2^nn! converge e a soma dela é e^2 - 1.

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