Para cada uma das funções seguintes, determine as derivadas indicadas:
e
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para determinar as derivadas de duas funções compostas:
e
. Precisamos encontrar a derivada da composição dessas funções, ou seja,
, e depois avaliar essa derivada no ponto
. Para isso, vamos usar o conceito de derivada de funções compostas, que envolve a regra da cadeia na matemática.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa a composição de funções. A composição
significa que vamos substituir a função
dentro de
. Então, temos:
Substituindo
pela expressão dada:
Passo 3
Agora, vamos encontrar a derivada dessa função composta em relação a
. Para isso, usamos a regra da cadeia, que nos diz que a derivada de uma composição de funções
é:
Vamos calcular cada parte separadamente.
Passo 4
Primeiro, encontremos a derivada de
em relação a
:
Em seguida, vamos encontrar a derivada de
em relação a
:
Passo 5
Agora, aplicando a regra da cadeia:
Simplificando:
Passo 6
Agora, queremos encontrar o valor da derivada no ponto
. Basta substituir
por 1 na expressão que encontramos:
Resposta
A derivada da composição
é
e, especificamente,
.
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Ache a expressão da derivada de cada uma das seguintes funções:
Calcule
, a partir das expressões calculadas na questão anterior.
Ache a expressão da derivada de cada uma das seguintes funções:
Para cada uma das funções seguintes, determine as derivadas indicadas:
e