Para cada uma das funções seguintes, determine as derivadas indicadas: e

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para determinar as derivadas de duas funções compostas: e . Precisamos encontrar a derivada da composição dessas funções, ou seja, , e depois avaliar essa derivada no ponto . Para isso, vamos usar o conceito de derivada de funções compostas, que envolve a regra da cadeia na matemática.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa a composição de funções. A composição significa que vamos substituir a função dentro de . Então, temos:
Substituindo pela expressão dada:

Passo 3

Agora, vamos encontrar a derivada dessa função composta em relação a . Para isso, usamos a regra da cadeia, que nos diz que a derivada de uma composição de funções é:
Vamos calcular cada parte separadamente.

Passo 4

Primeiro, encontremos a derivada de em relação a :
Em seguida, vamos encontrar a derivada de em relação a :

Passo 5

Agora, aplicando a regra da cadeia:
Simplificando:

Passo 6

Agora, queremos encontrar o valor da derivada no ponto . Basta substituir por 1 na expressão que encontramos:

Resposta

A derivada da composição é e, especificamente, .

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Ache a expressão da derivada de cada uma das seguintes funções:
Calcule , a partir das expressões calculadas na questão anterior.
Ache a expressão da derivada de cada uma das seguintes funções:
Para cada uma das funções seguintes, determine as derivadas indicadas: e