Para cada uma das funções seguintes, determine as derivadas indicadas:
e
Passo 1
O exercício pede para encontrar a derivada da função
e, especificamente, o valor dessa derivada quando
. Vamos usar conceitos de cálculo diferencial, especialmente a regra da cadeia, para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a função de uma forma que facilite a diferenciação. Podemos expressar
como uma potência:
Passo 3
Para encontrar
, vamos aplicar a regra da cadeia. A regra da cadeia é usada quando temos uma função composta, ou seja, uma função dentro de outra função.
Aqui, temos duas funções:
- A função externa:
- A função interna:
Passo 4
Primeiro, derivamos a função externa
em relação a
:
Passo 5
Em seguida, derivamos a função interna
em relação a
:
Passo 6
Agora, aplicamos a regra da cadeia multiplicando as derivadas das funções externa e interna:
Simplificando:
Passo 7
Para encontrar
, substituímos
na expressão da derivada:
Calculando os valores:
Então:
Resposta
A derivada da função é
e, quando
,
.
Exercícios relacionados
Ache a expressão da derivada de cada uma das seguintes funções:
Para cada uma das funções seguintes, determine as derivadas indicadas:
e
Para cada um dos itens a seguir determinar: a função
sabendo que
e
Ache a expressão da derivada de cada uma das seguintes funções: