Para cada uma das funções seguintes, determine as derivadas indicadas: e

Passo 1

O exercício pede para encontrar a derivada da função e, especificamente, o valor dessa derivada quando . Vamos usar conceitos de cálculo diferencial, especialmente a regra da cadeia, para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a função de uma forma que facilite a diferenciação. Podemos expressar como uma potência:

Passo 3

Para encontrar , vamos aplicar a regra da cadeia. A regra da cadeia é usada quando temos uma função composta, ou seja, uma função dentro de outra função.
Aqui, temos duas funções:
  • A função externa:
  • A função interna:

Passo 4

Primeiro, derivamos a função externa em relação a :

Passo 5

Em seguida, derivamos a função interna em relação a :

Passo 6

Agora, aplicamos a regra da cadeia multiplicando as derivadas das funções externa e interna:
Simplificando:

Passo 7

Para encontrar , substituímos na expressão da derivada:
Calculando os valores:
Então:

Resposta

A derivada da função é e, quando , .

Exercícios relacionados

Ache a expressão da derivada de cada uma das seguintes funções:
Para cada uma das funções seguintes, determine as derivadas indicadas: e
Para cada um dos itens a seguir determinar: a função sabendo que e
Ache a expressão da derivada de cada uma das seguintes funções: