Calcule , a partir das expressões calculadas na questão anterior.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para calcularmos a derivada da função inversa de no ponto , onde . Vamos usar o conteúdo de derivadas de funções inversas para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar uma fórmula importante que relaciona a derivada de uma função inversa com a derivada da função original. Se for diferenciável e inversível, então a derivada da função inversa no ponto é dada por:
Essa fórmula basicamente nos diz que para encontrar a inclinação da função inversa em , precisamos pegar o inverso da inclinação da função original no ponto que corresponde a .

Passo 3

Sabemos que . Isso significa que o ponto que queremos na função inversa é exatamente , porque .

Passo 4

Agora, substituímos esse valor na fórmula que vimos antes:
Ou seja, a derivada da função inversa no ponto é o inverso da derivada da função original em .

Resposta

Então, a derivada da função inversa no ponto é:

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Determine a expressão de , lembrando-se que :
Para cada uma das funções seguintes, determine as derivadas indicadas: e
Ache a expressão da derivada de cada uma das seguintes funções:
Para cada uma das funções seguintes, determine as derivadas indicadas: e