Para cada uma das funções seguintes, determine as derivadas indicadas:
a) e
b)
c) e
d) e
e) e
f) , e

Passo 1

Vamos começar entendendo o que a questão pede. Temos duas funções: e . Precisamos encontrar a derivada da composição dessas funções, ou seja, , e também calcular essa derivada no ponto . Vamos precisar usar a regra da cadeia para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada de em relação a . Como , a derivada é:

Passo 3

Agora, encontramos a derivada de em relação a . Com , a derivada é:

Passo 4

Aplicando a regra da cadeia, a derivada da composição é:
Substituindo :

Passo 5

Para encontrar , substituímos na expressão encontrada:

Passo 6

Vamos analisar a função , onde . Precisamos encontrar a derivada de em relação a , ou seja, , e também a derivada de em . Para isso, usaremos a regra do produto e a regra da cadeia.

Passo 7

Primeiro, identificamos as funções que estão sendo multiplicadas: e . A regra do produto nos diz que a derivada de é:
Aqui, .

Passo 8

Calculamos :

Passo 9

Agora, calculamos . Usando a regra da cadeia:

Passo 10

Substituindo e na expressão da derivada do produto:

Passo 11

Para encontrar , substituímos por na derivada:

Passo 12

Temos a função . Precisamos encontrar a derivada e calcular . Vamos utilizar a regra da cadeia para derivar funções compostas.

Passo 13

Reescrevemos a função para facilitar a derivação:
Aplicamos a regra da cadeia, onde a derivada de é .

Passo 14

Calculamos a derivada externa:
Derivando :

Passo 15

Substituímos de volta na expressão da derivada:

Passo 16

Para encontrar , substituímos :

Passo 17

Analisamos a função . Precisamos encontrar a derivada e calcular . Utilizaremos as regras básicas de derivação, como a soma de funções e a derivada da função cosseno ao quadrado.

Passo 18

Derivamos cada termo separadamente:
  1. Para , usamos a regra da cadeia:
Usando a identidade :

Passo 19

Juntando todas as derivadas:

Passo 20

Para encontrar , substituímos :

Passo 21

Temos a função . Precisamos encontrar a derivada e calcular . Vamos simplificar a expressão antes de derivar e usar a regra da cadeia.

Passo 22

Primeiro, simplificamos a função:

Passo 23

Derivamos usando a regra da cadeia:

Passo 24

Calculamos a derivada da fração usando a regra do quociente:

Passo 25

Substituindo de volta na expressão da derivada:

Passo 26

Portanto, a derivada simplificada é:
Agora, calculamos :
Sabemos que , mas considerando o sinal no terceiro quadrante:

Passo 27

Analisamos a função . Precisamos encontrar a derivada e calcular . Vamos usar a regra da cadeia para derivar funções compostas.

Passo 28

Reescrevemos a função para facilitar a derivação:

Passo 29

Aplicamos a regra da cadeia:
Simplificando:

Passo 30

Calculamos :

Passo 31

Substituímos na expressão da derivada:
Simplificando ainda mais:
Mas para manter a expressão mais simples:

Passo 32

Para encontrar , substituímos :
Substituindo na derivada:

Resposta

Exercícios relacionados

Calcule a expressão e o valor no ponto dado das derivadas indicadas abaixo:
a) , no ponto e no ponto
b) , no ponto de ordenada
c) nos pontos onde a abscissa e a ordenada tem o mesmo valor.
Calcule a partir das expressões calculadas nos respectivos itens da questão anterior:
a)
b)
c)
d)
Determinar a derivada da função sabendo que é a inversa da função f, isto é, :
a)
b) , para e
Determinar uma equação da reta tangente e da reta normal ao gráfico de cada função abaixo, nos pontos indicados:
a) , nos pontos em que
b) , no ponto de abscissa