Para cada uma das funções seguintes, determine as derivadas indicadas:
a)
e
b)
c)
e
d)
e
e)
e
f)
,
e
a)
b)
c)
d)
e)
f)
Passo 1
Vamos começar entendendo o que a questão pede. Temos duas funções:
e
. Precisamos encontrar a derivada da composição dessas funções, ou seja,
, e também calcular essa derivada no ponto
. Vamos precisar usar a regra da cadeia para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada de
em relação a
. Como
, a derivada é:
Passo 3
Agora, encontramos a derivada de
em relação a
. Com
, a derivada é:
Passo 4
Aplicando a regra da cadeia, a derivada da composição
é:
Substituindo
:
Passo 5
Para encontrar
, substituímos
na expressão encontrada:
Passo 6
Vamos analisar a função
, onde
. Precisamos encontrar a derivada de
em relação a
, ou seja,
, e também a derivada de
em
. Para isso, usaremos a regra do produto e a regra da cadeia.
Passo 7
Primeiro, identificamos as funções que estão sendo multiplicadas:
e
. A regra do produto nos diz que a derivada de
é:
Aqui,
.
Passo 8
Calculamos
:
Passo 9
Agora, calculamos
. Usando a regra da cadeia:
Passo 10
Substituindo
e
na expressão da derivada do produto:
Passo 11
Para encontrar
, substituímos
por
na derivada:
Passo 12
Temos a função
. Precisamos encontrar a derivada
e calcular
. Vamos utilizar a regra da cadeia para derivar funções compostas.
Passo 13
Reescrevemos a função para facilitar a derivação:
Aplicamos a regra da cadeia, onde a derivada de
é
.
Passo 14
Calculamos a derivada externa:
Derivando
:
Passo 15
Substituímos de volta na expressão da derivada:
Passo 16
Para encontrar
, substituímos
:
Passo 17
Analisamos a função
. Precisamos encontrar a derivada
e calcular
. Utilizaremos as regras básicas de derivação, como a soma de funções e a derivada da função cosseno ao quadrado.
Passo 18
Derivamos cada termo separadamente:
-
-
- Para
, usamos a regra da cadeia:
Usando a identidade
:
Passo 19
Juntando todas as derivadas:
Passo 20
Para encontrar
, substituímos
:
Passo 21
Temos a função
. Precisamos encontrar a derivada
e calcular
. Vamos simplificar a expressão antes de derivar e usar a regra da cadeia.
Passo 22
Primeiro, simplificamos a função:
Passo 23
Derivamos
usando a regra da cadeia:
Passo 24
Calculamos a derivada da fração usando a regra do quociente:
Passo 25
Substituindo de volta na expressão da derivada:
Passo 26
Portanto, a derivada simplificada é:
Agora, calculamos
:
Sabemos que
, mas considerando o sinal no terceiro quadrante:
Passo 27
Analisamos a função
. Precisamos encontrar a derivada
e calcular
. Vamos usar a regra da cadeia para derivar funções compostas.
Passo 28
Reescrevemos a função para facilitar a derivação:
Passo 29
Aplicamos a regra da cadeia:
Simplificando:
Passo 30
Calculamos
:
Passo 31
Substituímos
na expressão da derivada:
Simplificando ainda mais:
Mas para manter a expressão mais simples:
Passo 32
Para encontrar
, substituímos
:
Substituindo na derivada:
Resposta
Exercícios relacionados
Calcule a expressão e o valor no ponto dado das derivadas indicadas abaixo:
a) , no ponto
e
no ponto
b) , no ponto de ordenada
c) nos pontos onde a abscissa e a ordenada tem o mesmo valor.
a)
b)
c)
Calcule
a partir das expressões calculadas nos respectivos itens da questão anterior:
a)
b)
c)
d)
a)
b)
c)
d)
Determinar a derivada da função
sabendo que
é a inversa da função f, isto é,
:
a)
b) , para
e
a)
b)
Determinar uma equação da reta tangente e da reta normal ao gráfico de cada função abaixo, nos pontos indicados:
a) , nos pontos em que
b) , no ponto de abscissa
a)
b)