Calcule (f^-1)'(a) a partir das expressões calculadas nos respectivos itens da questão anterior:
a) a = f(2)
b) a = f(pi / 6)
c) a = f(6)
d) a = raiz(2) / 2

Passo 1

Então, a gente tem um exercício que pede para calcular a derivada da função inversa de em alguns pontos específicos. O conteúdo que vamos usar aqui é cálculo de funções inversas e derivadas. Para resolver isso, vamos precisar lembrar da fórmula que relaciona a derivada de uma função com a derivada da sua inversa.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula para a derivada da função inversa. Se temos uma função e sua inversa , então a derivada de em um ponto é dada por:
Isso significa que para encontrar , a gente precisa saber a derivada de no ponto onde .

Passo 3

Agora, vamos aplicar isso para cada um dos itens da questão.
a)
Aqui, , então . Aplicando a fórmula:
Então, a derivada da inversa de em é o inverso da derivada de em .
b)
Aqui, , então . Aplicando a fórmula:
Então, a derivada da inversa de em é o inverso da derivada de em .
c)
Aqui, , então . Aplicando a fórmula:
Então, a derivada da inversa de em é o inverso da derivada de em .
d)
Aqui, . Para encontrar , precisamos saber em que ponto . Supondo que esse ponto seja , então:
Sem a informação de qual satisfaz , a gente deixa a resposta em termos de .

Resposta

Assim, as derivadas da função inversa de nos pontos dados são:
a)
b)
c)
d) , onde

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