Calcule a partir das expressões calculadas nos respectivos itens da questão anterior:
a)
b)
c)
d)

Passo 1

Então, a gente tem um exercício que pede para calcular a derivada da função inversa de em alguns pontos específicos. O conteúdo que vamos usar aqui é cálculo de funções inversas e derivadas. Para resolver isso, vamos precisar lembrar da fórmula que relaciona a derivada de uma função com a derivada da sua inversa.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula para a derivada da função inversa. Se temos uma função e sua inversa , então a derivada de em um ponto é dada por:
Isso significa que para encontrar , a gente precisa saber a derivada de no ponto onde .

Passo 3

Agora, vamos aplicar isso para cada um dos itens da questão.
a)
Aqui, , então . Aplicando a fórmula:
Então, a derivada da inversa de em é o inverso da derivada de em .
b)
Aqui, , então . Aplicando a fórmula:
Então, a derivada da inversa de em é o inverso da derivada de em .
c)
Aqui, , então . Aplicando a fórmula:
Então, a derivada da inversa de em é o inverso da derivada de em .
d)
Aqui, . Para encontrar , precisamos saber em que ponto . Supondo que esse ponto seja , então:
Sem a informação de qual satisfaz , a gente deixa a resposta em termos de .

Resposta

Assim, as derivadas da função inversa de nos pontos dados são:
a)
b)
c)
d) , onde

Exercícios relacionados

Calcular os seguintes limites, usando a regra de La)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
Determine a expressão de , lembrando que .
a)
b)
c)
d)
Calcule a expressão e o valor no ponto dado das derivadas indicadas abaixo:
a) , no ponto e no ponto
b) , no ponto de ordenada
c) nos pontos onde a abscissa e a ordenada tem o mesmo valor.
Para cada uma das funções seguintes, determine as derivadas indicadas:
a) e
b)
c) e
d) e
e) e
f) , e