Determinar uma equação da reta tangente e da reta normal ao gráfico de cada função abaixo, nos pontos indicados:
a) , nos pontos em que
b) , no ponto de abscissa
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que tem duas partes. A gente precisa encontrar as equações da reta tangente e da reta normal para duas funções diferentes nos pontos indicados. Para fazer isso, vamos usar conceitos de derivadas, que nos ajudam a encontrar o comportamento das curvas. Vamos lá!
Passo 2
Parte a) Primeiro, vamos olhar para a função . A gente precisa encontrar os pontos onde a segunda derivada dessa função é igual a zero, ou seja, . Esses pontos são importantes porque indicam possíveis pontos de inflexão na curva.
Passo 3
Para encontrar a segunda derivada, vamos primeiro calcular a primeira derivada da função:
Agora, vamos derivar novamente para achar a segunda derivada:
Passo 4
Vamos resolver a equação para encontrar os pontos onde a concavidade muda:
Dividindo todos os termos por 12 para simplificar:
Essa é uma equação quadrática que podemos resolver fatorando:
Então, a única solução é .
Passo 5
Agora que sabemos que é o ponto onde , vamos encontrar o valor de nesse ponto substituindo na função original:
Então, o ponto de interesse é .
Passo 6
Agora, vamos encontrar a reta tangente nesse ponto. Para isso, precisamos da derivada primeira :
A derivada representa a inclinação da reta tangente.
Passo 7
Com a inclinação e o ponto , podemos usar a fórmula da reta:
Substituindo:
Então, a equação da reta tangente é .
Passo 8
Agora, para encontrar a reta normal, lembramos que ela é perpendicular à reta tangente. A inclinação da reta normal é o negativo do inverso da inclinação da tangente. Ou seja:
Usando a mesma fórmula da reta com e o ponto :
Simplificando:
Portanto, a equação da reta normal é .
Passo 9
Parte b) Agora, vamos para a segunda função no ponto onde . Primeiro, precisamos encontrar o valor de quando .
Passo 10
Substituindo na equação:
Então, o ponto é .
Passo 11
Para encontrar as retas tangente e normal, precisamos das derivadas. Vamos isolar na equação:
Elevando ambos os lados ao quadrado:
Agora, vamos derivar em relação a :
Passo 12
Substituindo na derivada para encontrar a inclinação da reta tangente:
Então, a inclinação da reta tangente é .
Passo 13
Usando a fórmula da reta com e o ponto :
Portanto, a equação da reta tangente é .
Passo 14
Para a reta normal, a inclinação é o negativo do inverso da inclinação da tangente: