Determinar uma equação da reta tangente e da reta normal ao gráfico de cada função abaixo, nos pontos indicados:
a) , nos pontos em que
b) , no ponto de abscissa

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que tem duas partes. A gente precisa encontrar as equações da reta tangente e da reta normal para duas funções diferentes nos pontos indicados. Para fazer isso, vamos usar conceitos de derivadas, que nos ajudam a encontrar o comportamento das curvas. Vamos lá!

Passo 2

Parte a) Primeiro, vamos olhar para a função . A gente precisa encontrar os pontos onde a segunda derivada dessa função é igual a zero, ou seja, . Esses pontos são importantes porque indicam possíveis pontos de inflexão na curva.

Passo 3

Para encontrar a segunda derivada, vamos primeiro calcular a primeira derivada da função:
Agora, vamos derivar novamente para achar a segunda derivada:

Passo 4

Vamos resolver a equação para encontrar os pontos onde a concavidade muda:
Dividindo todos os termos por 12 para simplificar:
Essa é uma equação quadrática que podemos resolver fatorando:
Então, a única solução é .

Passo 5

Agora que sabemos que é o ponto onde , vamos encontrar o valor de nesse ponto substituindo na função original:
Então, o ponto de interesse é .

Passo 6

Agora, vamos encontrar a reta tangente nesse ponto. Para isso, precisamos da derivada primeira :
A derivada representa a inclinação da reta tangente.

Passo 7

Com a inclinação e o ponto , podemos usar a fórmula da reta:
Substituindo:
Então, a equação da reta tangente é .

Passo 8

Agora, para encontrar a reta normal, lembramos que ela é perpendicular à reta tangente. A inclinação da reta normal é o negativo do inverso da inclinação da tangente. Ou seja:
Usando a mesma fórmula da reta com e o ponto :
Simplificando:
Portanto, a equação da reta normal é .

Passo 9

Parte b) Agora, vamos para a segunda função no ponto onde . Primeiro, precisamos encontrar o valor de quando .

Passo 10

Substituindo na equação:
Então, o ponto é .

Passo 11

Para encontrar as retas tangente e normal, precisamos das derivadas. Vamos isolar na equação:
Elevando ambos os lados ao quadrado:
Agora, vamos derivar em relação a :

Passo 12

Substituindo na derivada para encontrar a inclinação da reta tangente:
Então, a inclinação da reta tangente é .

Passo 13

Usando a fórmula da reta com e o ponto :
Portanto, a equação da reta tangente é .

Passo 14

Para a reta normal, a inclinação é o negativo do inverso da inclinação da tangente:
Usando a fórmula da reta com e o ponto :
Simplificando:
Então, a equação da reta normal é .

Resposta

a)
Reta tangente:
Reta normal:
b)
Reta tangente:
Reta normal:

Exercícios relacionados

Determinar a derivada da função sabendo que é a inversa da função f, isto é, :
a)
b) , para e
Para cada uma das funções seguintes, determine as derivadas indicadas:
a) e
b)
c) e
d) e
e) e
f) , e
Exercício 4
Provar que a função é contínua se:
é uma função tal que .
Calcule pela definição: