Determinar a derivada da função
sabendo que
é a inversa da função f, isto é,
:
a)
b)
, para
e
a)
b)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a derivada da função
, que é a inversa da função
, ou seja,
. O conteúdo que vamos usar aqui é o de derivadas de funções inversas. Pra resolver isso, a gente vai precisar lembrar da fórmula que relaciona as derivadas de funções inversas: se
, então
, onde
.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a parte a) do exercício:
.
Sabendo que
, queremos encontrar
. Usando a fórmula que mencionamos:
Mas como
, podemos reescrever
em termos de
:
Portanto:
Passo 3
Agora, vamos para a parte b):
, onde
e
.
Primeiro, precisamos encontrar
a partir dessa equação. Vamos derivar ambos os lados em relação a
:
Aplicando as regras de derivação:
Simplificando:
Fatorando
:
Isolando
:
Agora, aplicando a fórmula da derivada da função inversa
:
Como
, podemos substituir:
Resposta
a) A derivada da função inversa
é
.
b) A derivada da função inversa
é
.