Determinar a derivada da função g sabendo que g é a inversa da função f, isto é, g = f^(-1) :
a) f'(x) = raiz(1 - f^2(x))
b) ln(f^2(x)) + 2f(x) = x, para f(x) ≠ 0 e f(x) != -1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a derivada da função , que é a inversa da função , ou seja, . O conteúdo que vamos usar aqui é o de derivadas de funções inversas. Pra resolver isso, a gente vai precisar lembrar da fórmula que relaciona as derivadas de funções inversas: se , então , onde .

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a parte a) do exercício: .
Sabendo que , queremos encontrar . Usando a fórmula que mencionamos:
Mas como , podemos reescrever em termos de :
Portanto:

Passo 3

Agora, vamos para a parte b): , onde e .
Primeiro, precisamos encontrar a partir dessa equação. Vamos derivar ambos os lados em relação a :
Aplicando as regras de derivação:
Simplificando:
Fatorando :
Isolando :
Agora, aplicando a fórmula da derivada da função inversa :
Como , podemos substituir:

Resposta

a) A derivada da função inversa é .
b) A derivada da função inversa é .

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