Calcule a expressão e o valor no ponto dado das derivadas indicadas abaixo:
a) , no ponto e no ponto
b) , no ponto de ordenada
c) nos pontos onde a abscissa e a ordenada tem o mesmo valor.

Passo 1

Vamos resolver a parte a) do exercício:
Dado: A equação .
Objetivo: Calcular no ponto e no ponto .
Matéria: Derivadas, especificamente derivadas implícitas.
Para resolver, vamos precisar usar a derivação implícita, que nos permite encontrar a derivada de em relação a mesmo quando não está isolada.

Passo 2

Primeiro, vamos derivar a equação em relação a .
Usamos a regra da derivada para cada termo:
Derivando cada termo:
Aqui, representa .

Passo 3

Isolando :
Então, a derivada de em relação a é:

Passo 4

Agora, vamos calcular no ponto . Substituindo e :

Passo 5

Para encontrar , que é , podemos usar a relação entre e :
Substituindo :

Passo 6

Agora, vamos calcular no ponto . Substituindo e :

Resposta

A derivada no ponto é e a derivada no ponto também é .

Exercícios relacionados

Calcule a partir das expressões calculadas nos respectivos itens da questão anterior:
a)
b)
c)
d)
Calcular os seguintes limites, usando a regra de La)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
Para cada uma das funções seguintes, determine as derivadas indicadas:
a) e
b)
c) e
d) e
e) e
f) , e
Determinar a derivada da função sabendo que é a inversa da função f, isto é, :
a)
b) , para e