Calcule a expressão e o valor no ponto dado das derivadas indicadas abaixo:
a) x^2 + y^2 = 4, y', no ponto P(1, raiz(3)) e x' no ponto Q = (raiz(3), 1)
b) y - x - 1/4 sen(y) = 0, no ponto de ordenada pi / 2
c) e^y + x y = e, y' nos pontos onde a abscissa e a ordenada tem o mesmo valor.

Passo 1

Vamos resolver a parte a) do exercício:
Dado: A equação .
Objetivo: Calcular no ponto e no ponto .
Matéria: Derivadas, especificamente derivadas implícitas.
Para resolver, vamos precisar usar a derivação implícita, que nos permite encontrar a derivada de em relação a mesmo quando não está isolada.

Passo 2

Primeiro, vamos derivar a equação em relação a .
Usamos a regra da derivada para cada termo:
Derivando cada termo:
Aqui, representa .

Passo 3

Isolando :
Então, a derivada de em relação a é:

Passo 4

Agora, vamos calcular no ponto . Substituindo e :

Passo 5

Para encontrar , que é , podemos usar a relação entre e :
Substituindo :

Passo 6

Agora, vamos calcular no ponto . Substituindo e :

Resposta

A derivada no ponto é e a derivada no ponto também é .

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