Calcule a expressão e o valor no ponto dado das derivadas indicadas abaixo:
a)
, no ponto
e
no ponto
b)
, no ponto de ordenada
c)
nos pontos onde a abscissa e a ordenada tem o mesmo valor.
a)
b)
c)
Passo 1
Vamos resolver a parte a) do exercício:
Dado: A equação
.
Objetivo: Calcular
no ponto
e
no ponto
.
Matéria: Derivadas, especificamente derivadas implícitas.
Para resolver, vamos precisar usar a derivação implícita, que nos permite encontrar a derivada de
em relação a
mesmo quando
não está isolada.
Passo 2
Primeiro, vamos derivar a equação
em relação a
.
Usamos a regra da derivada para cada termo:
Derivando cada termo:
Aqui,
representa
.
Passo 3
Isolando
:
Então, a derivada de
em relação a
é:
Passo 4
Agora, vamos calcular
no ponto
. Substituindo
e
:
Passo 5
Para encontrar
, que é
, podemos usar a relação entre
e
:
Substituindo
:
Passo 6
Agora, vamos calcular
no ponto
. Substituindo
e
:
Resposta
A derivada
no ponto
é
e a derivada
no ponto
também é
.