Para cada uma das funções seguintes, determine as derivadas indicadas: , e

Passo 1

Beleza, temos uma função que combina multiplicação e trigonometria. O enunciado pede para a gente encontrar a derivada dessa função, que é , e também o valor dessa derivada quando . Vamos usar o conteúdo de derivadas, especificamente a regra do produto e a regra da cadeia, para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as duas partes da função :
Temos duas funções somadas:
Vamos derivar cada uma separadamente.

Passo 3

Começando com .
Aqui, usamos a Regra do Produto, que diz que a derivada de é .
Então, vamos derivar e separadamente:
  • Derivada de é 1.
  • Derivada de usa a Regra da Cadeia:
    Onde , então .
    Portanto,
Agora, aplicando a Regra do Produto:
Simplificando:

Passo 4

Agora, vamos derivar .
Aqui, usamos a Regra da Cadeia novamente. Podemos reescrever como:
Aplicando a derivada:
Derivando :
Portanto,

Passo 5

Agora que temos as derivadas de e , podemos somá-las para obter a derivada total :
Substituindo as expressões encontradas:

Passo 6

Agora, vamos encontrar , substituindo na expressão de :
Simplificando:

Resposta

A derivada da função é:
E o valor da derivada em é:

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Para cada uma das funções seguintes, determine as derivadas indicadas:
Seja . Determine a constante de modo que a reta que passa pelos pontos seja tangente ao gráfico de .
Para cada uma das funções seguintes, determine as derivadas indicadas: e
Determine a expressão de , lembrando-se que :