Para cada uma das funções seguintes, determine as derivadas indicadas:
,
e
Passo 1
Beleza, temos uma função que combina multiplicação e trigonometria. O enunciado pede para a gente encontrar a derivada dessa função, que é
, e também o valor dessa derivada quando
. Vamos usar o conteúdo de derivadas, especificamente a regra do produto e a regra da cadeia, para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as duas partes da função
:
Temos duas funções somadas:
Vamos derivar cada uma separadamente.
Passo 3
Começando com
.
Aqui, usamos a Regra do Produto, que diz que a derivada de
é
.
Então, vamos derivar
e
separadamente:
-
Derivada de
é 1. -
Derivada de
usa a Regra da Cadeia: Onde, então . Portanto,
Agora, aplicando a Regra do Produto:
Simplificando:
Passo 4
Agora, vamos derivar
.
Aqui, usamos a Regra da Cadeia novamente. Podemos reescrever
como:
Aplicando a derivada:
Derivando
:
Portanto,
Passo 5
Agora que temos as derivadas de
e
, podemos somá-las para obter a derivada total
:
Substituindo as expressões encontradas:
Passo 6
Agora, vamos encontrar
, substituindo
na expressão de
:
Simplificando:
Resposta
A derivada da função é:
E o valor da derivada em
é:
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Para cada uma das funções seguintes, determine as derivadas indicadas:
Seja
. Determine a constante
de modo que a reta que passa pelos pontos
seja tangente ao gráfico de
.
Para cada uma das funções seguintes, determine as derivadas indicadas:
e
Determine a expressão de
, lembrando-se que
: