Para cada uma das funções seguintes, determine as derivadas indicadas: e

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa determinar a derivada da função e também calcular o valor dessa derivada quando . Isso envolve o conteúdo de derivadas, especificamente usando a regra do quociente para derivar funções que são frações de outras funções.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a regra do quociente. Se temos uma função que é o quociente de duas funções, ou seja, , então a derivada dessa função é dada por:
Aqui, e . Precisamos encontrar as derivadas de e , ou seja, e .

Passo 3

Vamos calcular :
A derivada de é e a derivada de é (porque a derivada de é ).
Então,

Passo 4

Agora, vamos calcular :
De maneira similar, a derivada de é e a derivada de é .
Então,

Passo 5

Agora que temos e , vamos aplicar a regra do quociente:
Vamos simplificar o numerador:
Lembrando que , aplicando isso aqui:
Então, a derivada fica:

Passo 6

Agora, queremos encontrar o valor de . Vamos substituir na expressão da derivada:

Resposta

A derivada de é e, quando , .

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Para cada uma das funções seguintes, determine as derivadas indicadas: , e
Para cada uma das funções seguintes, determine as derivadas indicadas:
Determine a expressão de , lembrando-se que :
Calcule , a partir das expressões calculadas na questão anterior.