Seja
. Determine a constante
de modo que a reta que passa pelos pontos
seja tangente ao gráfico de
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem a função
e precisamos encontrar o valor da constante
de modo que a reta que passa pelos pontos
e
seja tangente ao gráfico de
. Então, vamos mexer com Geometria Analítica e um pouco de Álgebra para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos achar a equação da reta que passa pelos pontos
e
. Para isso, usamos a fórmula da inclinação
da reta:
Substituindo os pontos:
Agora que temos a inclinação, usamos a equação da reta na forma
. Sabemos que a reta passa por
, então:
Então, a equação da reta é:
Passo 3
Agora, queremos que essa reta seja tangente ao gráfico de
. Isso significa que as duas equações se cruzam em exatamente um ponto. Para encontrar esse ponto de tangência, igualamos as duas funções:
Vamos arrumar essa equação para resolver para
:
Multiplicando tudo por 16 para eliminar o denominador:
Passo 4
Como a reta é tangente ao gráfico, a equação quadrática resultante tem uma única solução. Isso acontece quando o discriminante
é igual a zero. O discriminante de uma equação
é dado por:
Nesse caso,
,
e
. Então:
Para que seja tangente:
Passo 5
Resolvendo a equação para
:
Resposta
A constante
é igual a
.