Seja f(x) = b - (x^2 / 16). Determine a constante b de modo que a reta que passa pelos pontos M(0.5) e N(5/2, 0) seja tangente ao gráfico de f.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a função e precisamos encontrar o valor da constante de modo que a reta que passa pelos pontos e seja tangente ao gráfico de . Então, vamos mexer com Geometria Analítica e um pouco de Álgebra para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos achar a equação da reta que passa pelos pontos e . Para isso, usamos a fórmula da inclinação da reta:
Substituindo os pontos:
Agora que temos a inclinação, usamos a equação da reta na forma . Sabemos que a reta passa por , então:
Então, a equação da reta é:

Passo 3

Agora, queremos que essa reta seja tangente ao gráfico de . Isso significa que as duas equações se cruzam em exatamente um ponto. Para encontrar esse ponto de tangência, igualamos as duas funções:
Vamos arrumar essa equação para resolver para :
Multiplicando tudo por 16 para eliminar o denominador:

Passo 4

Como a reta é tangente ao gráfico, a equação quadrática resultante tem uma única solução. Isso acontece quando o discriminante é igual a zero. O discriminante de uma equação é dado por:
Nesse caso, , e . Então:
Para que seja tangente:

Passo 5

Resolvendo a equação para :

Resposta

A constante é igual a .

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