Para cada uma das funções seguintes, determine as derivadas indicadas: y = u sen(u), u = x^2, dy/dx e (dy/dx)_{(x_0 = raiz(pi))}

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente calcular a derivada da função , onde . A matéria que vamos utilizar aqui é o cálculo das derivadas, mais especificamente a regra da cadeia, já que temos uma função composta. Vamos precisar entender como derivar funções trigonométricas e polinomiais, além de aplicar a regra da cadeia para ligar as derivadas de em relação a e de em relação a .

Passo 2

Primeiro, vamos derivar em relação a . A função é um produto de duas funções: e . Para derivar isso, usamos a regra do produto, que diz que a derivada de duas funções multiplicadas é a derivada da primeira vezes a segunda mais a primeira vezes a derivada da segunda.
Então, temos:
Sabemos que e . Substituindo:

Passo 3

Agora, vamos derivar em relação a . Como , a derivada de em relação a é:

Passo 4

Para encontrar , aplicamos a regra da cadeia, que nos diz que . Já calculamos e , então:

Passo 5

Agora, vamos substituir na expressão da derivada:
Simplificando:

Passo 6

Por fim, queremos avaliar no ponto onde . Vamos substituir na expressão da derivada:
Simplificando :
Sabemos que e , então:

Resposta

A derivada é e, no ponto , .

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