Determine a derivada das seguintes funções:
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que a gente tem aqui. O exercício pede para encontrar a derivada da função
. A gente vai usar conceitos de derivadas, especificamente a regra do produto e propriedades dos logaritmos. Vamos precisar entender como derivar funções que são produtos de duas outras funções e simplificar expressões logarítmicas para facilitar o cálculo.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro do logaritmo para facilitar nossa vida. Sabemos que:
Então, podemos reescrever a função original como:
Isso já deixa a função mais simples para trabalharmos na próxima etapa.
Passo 3
Agora, vamos derivar
. Aqui, temos um produto de duas funções:
e
. Para derivar isso, vamos usar a regra do produto, que diz que:
Então, precisamos encontrar as derivadas de
e
.
Passo 4
Vamos derivar cada parte:
- Derivada de
:
- Derivada de
:
Agora, aplicamos a regra do produto:
Passo 5
Vamos simplificar a expressão que obtivemos:
Podemos fatorar
para deixar a resposta mais elegante:
Resposta
A derivada da função
é:
Exercícios relacionados
Para cada uma das funções seguintes, determine as derivadas indicadas:
e
Determine a derivada das seguintes funções:
Para cada uma das funções seguintes, determine as derivadas indicadas:
e
Para cada uma das funções seguintes, determine as derivadas indicadas:
,
e