Determine a derivada das seguintes funções:

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a gente tem aqui. O exercício pede para encontrar a derivada da função . A gente vai usar conceitos de derivadas, especificamente a regra do produto e propriedades dos logaritmos. Vamos precisar entender como derivar funções que são produtos de duas outras funções e simplificar expressões logarítmicas para facilitar o cálculo.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro do logaritmo para facilitar nossa vida. Sabemos que:
Então, podemos reescrever a função original como:
Isso já deixa a função mais simples para trabalharmos na próxima etapa.

Passo 3

Agora, vamos derivar . Aqui, temos um produto de duas funções: e . Para derivar isso, vamos usar a regra do produto, que diz que:
Então, precisamos encontrar as derivadas de e .

Passo 4

Vamos derivar cada parte:
  • Derivada de :
  • Derivada de :
Agora, aplicamos a regra do produto:

Passo 5

Vamos simplificar a expressão que obtivemos:
Podemos fatorar para deixar a resposta mais elegante:

Resposta

A derivada da função é:

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