Para cada uma das funções seguintes, determine as derivadas indicadas: e

Passo 1

Vamos começar entendendo o que a questão pede. Temos a função e precisamos encontrar a sua derivada e depois calcular . Para isso, vamos usar os conceitos de derivadas de funções compostas.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a função para facilitar a derivação. Sabemos que a raiz quadrada pode ser expressa como uma potência de . Então, podemos escrever:

Passo 3

Agora, para derivar , vamos aplicar a Regra da Cadeia. Essa regra é usada quando temos uma função dentro de outra função, ou seja, funções compostas.

Passo 4

Aplicando a Regra da Cadeia, derivamos a função externa e multiplicamos pela derivada da função interna:

Passo 5

Agora, vamos derivar a parte interna . Sabemos que:
Portanto,

Passo 6

Substituindo essa derivada de volta na expressão de :

Passo 7

Simplificando a expressão:

Passo 8

Finalmente, para encontrar , substituímos na expressão da derivada:

Resposta

A derivada da função é:
E, especificamente, quando :

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Para cada um dos itens a seguir, determinar: , sabendo que
Para cada uma das funções seguintes, determine as derivadas indicadas:
Calcule a partir das expressões calculadas nos respectivos itens da questão anterior:
Determinar a derivada da função sabendo que é a inversa da função f, isto é, : , para e