Para cada uma das funções seguintes, determine as derivadas indicadas:
e
Passo 1
Vamos começar entendendo o que a questão pede. Temos a função
e precisamos encontrar a sua derivada
e depois calcular
. Para isso, vamos usar os conceitos de derivadas de funções compostas.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a função para facilitar a derivação. Sabemos que a raiz quadrada pode ser expressa como uma potência de
. Então, podemos escrever:
Passo 3
Agora, para derivar
, vamos aplicar a Regra da Cadeia. Essa regra é usada quando temos uma função dentro de outra função, ou seja, funções compostas.
Passo 4
Aplicando a Regra da Cadeia, derivamos a função externa e multiplicamos pela derivada da função interna:
Passo 5
Agora, vamos derivar a parte interna
. Sabemos que:
Portanto,
Passo 6
Substituindo essa derivada de volta na expressão de
:
Passo 7
Simplificando a expressão:
Passo 8
Finalmente, para encontrar
, substituímos
na expressão da derivada:
Resposta
A derivada da função é:
E, especificamente, quando
:
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Para cada um dos itens a seguir, determinar:
, sabendo que
Para cada uma das funções seguintes, determine as derivadas indicadas:
Calcule
a partir das expressões calculadas nos respectivos itens da questão anterior:
Determinar a derivada da função
sabendo que
é a inversa da função f, isto é,
:
, para
e