Para cada uma das funções seguintes, determine as derivadas indicadas:

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para determinar as derivadas da função , onde . Para isso, vamos utilizar o conteúdo de derivadas, especificamente a regra da cadeia, que é essencial para derivar funções compostas como essa.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as funções envolvidas. Temos como uma função de e como uma função de . Isso significa que é uma função composta, ou seja, depende de , que por sua vez depende de .

Passo 3

Para encontrar a derivada de em relação a , usaremos a regra da cadeia. A regra da cadeia nos diz que:
Vamos calcular cada parte separadamente.

Passo 4

Primeiro, calculamos . Sabemos que:
Então, derivando em relação a :
Isso vem da regra do produto, onde derivamos cada parte e somamos os resultados.

Passo 5

Agora, calculamos . Sabemos que:
Derivando em relação a :

Passo 6

Aplicando a regra da cadeia, multiplicamos as duas derivadas que encontramos:
Substituímos para expressar a derivada completamente em termos de :

Passo 7

Agora, vamos calcular , que significa substituir por na derivada que encontramos:
Simplificando:

Resposta

A derivada de em relação a é:
E avaliando a derivada em :

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Determine a derivada das seguintes funções:
Calcule as seguintes derivadas:
Para cada um dos itens a seguir, determinar: , sabendo que
Para cada uma das funções seguintes, determine as derivadas indicadas: e