Para cada uma das funções seguintes, determine as derivadas indicadas:
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para determinar as derivadas da função , onde
. Para isso, vamos utilizar o conteúdo de derivadas, especificamente a regra da cadeia, que é essencial para derivar funções compostas como essa.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as funções envolvidas. Temos
como uma função de
e
como uma função de
. Isso significa que
é uma função composta, ou seja,
depende de
, que por sua vez depende de
.
Passo 3
Para encontrar a derivada de
em relação a
, usaremos a regra da cadeia. A regra da cadeia nos diz que:
Vamos calcular cada parte separadamente.
Passo 4
Primeiro, calculamos
. Sabemos que:
Então, derivando
em relação a
:
Isso vem da regra do produto, onde derivamos cada parte e somamos os resultados.
Passo 5
Agora, calculamos
. Sabemos que:
Derivando
em relação a
:
Passo 6
Aplicando a regra da cadeia, multiplicamos as duas derivadas que encontramos:
Substituímos
para expressar a derivada completamente em termos de
:
Passo 7
Agora, vamos calcular
, que significa substituir
por
na derivada que encontramos:
Simplificando:
Resposta
A derivada de em relação a
é:
E avaliando a derivada em
:
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Determine a derivada das seguintes funções:
Calcule as seguintes derivadas:
Para cada um dos itens a seguir, determinar:
, sabendo que
Para cada uma das funções seguintes, determine as derivadas indicadas:
e