Determinar a derivada da função
sabendo que
é a inversa da função f, isto é,
:
, para
e
Passo 1
Beleza, então a gente tem uma função
que é a inversa da função
, ou seja,
. O enunciado nos dá a equação
onde
e
. Nosso objetivo é encontrar a derivada de
, que é
. Para isso, a gente vai usar conceitos de funções inversas e derivadas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que se
é a inversa de
, então
. Isso é fundamental para relacionar as derivadas das funções inversas.
Passo 3
Agora, vamos diferenciar ambos os lados da equação
em relação a
. Usando a regra da cadeia, temos:
Isso nos mostra que
. Ou seja, para encontrar
, precisamos encontrar
.
Passo 4
Vamos voltar à equação original
e diferenciar ambos os lados em relação a
. Usando as regras de derivação, temos:
Simplificando:
Passo 5
Agora, voltando à expressão de
:
Como
, substituímos:
Simplificando ainda mais:
Resposta
A derivada da função
é
.
Exercícios relacionados
Calcule
a partir das expressões calculadas nos respectivos itens da questão anterior:
Para cada uma das funções seguintes, determine as derivadas indicadas:
e
Calcule
a partir das expressões calculadas nos respectivos itens da questão anterior:
Determine a expressão de
, lembrando que
: