Determinar a derivada da função g sabendo que g é a inversa da função f, isto é, g = f^(-1): ln(f^2(x)) + 2f(x) = x, para f(x) ≠ 0 e f(x) != -1

Passo 1

Beleza, então a gente tem uma função que é a inversa da função , ou seja, . O enunciado nos dá a equação onde e . Nosso objetivo é encontrar a derivada de , que é . Para isso, a gente vai usar conceitos de funções inversas e derivadas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que se é a inversa de , então . Isso é fundamental para relacionar as derivadas das funções inversas.

Passo 3

Agora, vamos diferenciar ambos os lados da equação em relação a . Usando a regra da cadeia, temos:
Isso nos mostra que . Ou seja, para encontrar , precisamos encontrar .

Passo 4

Vamos voltar à equação original e diferenciar ambos os lados em relação a . Usando as regras de derivação, temos:
Simplificando:

Passo 5

Agora, voltando à expressão de :
Como , substituímos:
Simplificando ainda mais:

Resposta

A derivada da função é .

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