Para cada uma das funções seguintes, determine as derivadas indicadas:
e
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar as derivadas de duas funções compostas. Primeiro, temos
e
. Nosso objetivo é achar
e depois calcular
. Vamos precisar usar a regra da cadeia para derivadas de funções compostas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é a derivada de uma função composta. A regra da cadeia nos diz que se temos
, então a derivada
é
. Ou seja, derivamos a função externa
em relação a
e depois multiplicamos pela derivada da função interna
em relação a
.
Passo 3
Vamos começar encontrando
. A função
pode ser escrita como
. Para derivar
, usamos a regra do poder, que diz que a derivada de
é
. Então:
Passo 4
Agora, vamos derivar
. Para isso, usamos a regra do quociente, que é
. Aqui,
e
.
Primeiro, encontramos as derivadas de
e
:
Aplicando a regra do quociente:
Simplificando o numerador:
Então:
Passo 5
Agora que temos
e
, vamos aplicar a regra da cadeia para encontrar
:
Substituindo
:
Passo 6
Vamos simplificar a expressão. Primeiro, reescrevemos
:
Então, o inverso disso é:
Substituindo de volta:
Simplificando as potências de
:
Passo 7
Agora, vamos calcular
. Basta substituir
na expressão que encontramos:
Primeiro, calculamos
:
Agora, calculamos
:
Em seguida, calculamos
:
Finalmente, aplicamos a regra da cadeia:
Resposta
A derivada composta é
e
.
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, lembrando-se que
:
Calcule
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