Para cada uma das funções seguintes, determine as derivadas indicadas: e

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar as derivadas de duas funções compostas. Primeiro, temos e . Nosso objetivo é achar e depois calcular . Vamos precisar usar a regra da cadeia para derivadas de funções compostas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é a derivada de uma função composta. A regra da cadeia nos diz que se temos , então a derivada é . Ou seja, derivamos a função externa em relação a e depois multiplicamos pela derivada da função interna em relação a .

Passo 3

Vamos começar encontrando . A função pode ser escrita como . Para derivar , usamos a regra do poder, que diz que a derivada de é . Então:

Passo 4

Agora, vamos derivar . Para isso, usamos a regra do quociente, que é . Aqui, e .
Primeiro, encontramos as derivadas de e :
Aplicando a regra do quociente:
Simplificando o numerador:
Então:

Passo 5

Agora que temos e , vamos aplicar a regra da cadeia para encontrar :
Substituindo :

Passo 6

Vamos simplificar a expressão. Primeiro, reescrevemos :
Então, o inverso disso é:
Substituindo de volta:
Simplificando as potências de :

Passo 7

Agora, vamos calcular . Basta substituir na expressão que encontramos:
Primeiro, calculamos :
Agora, calculamos :
Em seguida, calculamos :
Finalmente, aplicamos a regra da cadeia:

Resposta

A derivada composta é e .

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