Em que ponto da curva a reta tangente tem ângulo de inclinação ?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para encontrarmos o ponto na curva onde a reta tangente tem um ângulo de inclinação de . Aqui, a gente vai usar conceitos de Cálculo Diferencial, especificamente derivadas para achar a inclinação da reta tangente. Para resolver, vamos precisar calcular a derivada de em relação a e relacionar essa inclinação com o ângulo dado usando a função tangente.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada de em relação a . A derivada nos dá a inclinação da reta tangente em qualquer ponto da curva.
Então, a inclinação da reta tangente é .

Passo 3

Sabemos que o ângulo de inclinação da reta está relacionado à sua inclinação pela fórmula:
No nosso caso, , então:
Agora, vamos resolver para :
Com o valor de , vamos encontrar o valor correspondente de na curva :

Resposta

O ponto na curva onde a reta tangente tem ângulo de inclinação é .

Exercícios relacionados

Determine as equações das retas tangente e normal ao gráfico de
Calcule , a partir das expressões calculadas na questão anterior.
Para cada uma das funções seguintes, determine as derivadas indicadas: e
Determine a expressão de , lembrando-se que :