Determine a expressão de (f^{-1})'(f(x)), lembrando-se que (f^{-1})'(f(x)) = 1/f'(x) : f(x) = x² + 4x - 2 ; x ≥ 1

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente precisa encontrar a expressão de (f^{-1})'(f(x)). A matéria aqui é sobre funções inversas e derivadas. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular a derivada da função inversa e usar a relação que a questão já nos deu: . Vamos também precisar derivar a função .

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada da função f(x). A derivada nos diz a taxa de variação da função em relação a x. Usando as regras de derivação:
Derivando cada termo:

Passo 3

Agora que temos , podemos usar a relação que a questão nos deu para encontrar (f^{-1})'(f(x)). Basta substituir f'(x) na fórmula:

Resposta

A expressão de (f^{-1})'(f(x)) é .

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