Determine as equações das retas tangente e normal ao gráfico de

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar as equações das retas tangente e normal ao gráfico da função no ponto onde . Isso envolve conceitos de cálculo diferencial, como derivadas, para determinar a inclinação da reta tangente, e então usar essas informações para encontrar as equações das retas.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o valor de . Como , substituímos na função:
Sabemos que , então:
Portanto, o ponto de tangência é .

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a derivada de para determinar a inclinação da reta tangente. A derivada de é:
Vamos calcular :
Primeiro, calculamos e , porque e .
Então:
A inclinação da reta tangente é 0, ou seja, a reta é horizontal.

Passo 4

Com a inclinação da reta tangente sendo 0 e sabendo que a reta passa pelo ponto , podemos usar a fórmula da equação da reta:
Onde é a inclinação, é o ponto conhecido.
Substituindo os valores:
Então, a equação da reta tangente é simplesmente .

Passo 5

Agora, vamos encontrar a reta normal. A reta normal é perpendicular à reta tangente. Sabendo que a inclinação da reta tangente é 0, a inclinação da reta normal será indefinida, ou seja, a reta normal será vertical.
A equação de uma reta vertical que passa por é:

Resposta

A equação da reta tangente é e a equação da reta normal é .

Exercícios relacionados

Calcule , a partir das expressões calculadas na questão anterior.
Determine a expressão de , lembrando-se que :
Em que ponto da curva a reta tangente tem ângulo de inclinação ?
Para cada uma das funções seguintes, determine as derivadas indicadas: e