Determine as equações das retas tangente e normal ao gráfico de
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar as equações das retas tangente e normal ao gráfico da função
no ponto onde
. Isso envolve conceitos de cálculo diferencial, como derivadas, para determinar a inclinação da reta tangente, e então usar essas informações para encontrar as equações das retas.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o valor de
. Como
, substituímos na função:
Sabemos que
, então:
Portanto, o ponto de tangência é
.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar a derivada de
para determinar a inclinação da reta tangente. A derivada de
é:
Vamos calcular
:
Primeiro, calculamos
e
, porque
e
.
Então:
A inclinação da reta tangente é 0, ou seja, a reta é horizontal.
Passo 4
Com a inclinação da reta tangente sendo 0 e sabendo que a reta passa pelo ponto
, podemos usar a fórmula da equação da reta:
Onde
é a inclinação,
é o ponto conhecido.
Substituindo os valores:
Então, a equação da reta tangente é simplesmente
.
Passo 5
Agora, vamos encontrar a reta normal. A reta normal é perpendicular à reta tangente. Sabendo que a inclinação da reta tangente é 0, a inclinação da reta normal será indefinida, ou seja, a reta normal será vertical.
A equação de uma reta vertical que passa por
é:
Resposta
A equação da reta tangente é
e a equação da reta normal é
.
Exercícios relacionados
Calcule
, a partir das expressões calculadas na questão anterior.
Determine a expressão de
, lembrando-se que
:
Em que ponto da curva
a reta tangente tem ângulo de inclinação
?
Para cada uma das funções seguintes, determine as derivadas indicadas:
e