Para cada uma das funções seguintes, determine as derivas indicadas:
e
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a função
. Precisamos determinar a derivada dessa função, ou seja,
, e também encontrar o valor dessa derivada quando
, ou seja,
. Para resolver isso, vamos precisar dos conceitos de derivadas de funções compostas, propriedades do logaritmo natural, derivadas da função tangente, exponenciais e da função chão (representada por
).
Passo 2
Vamos começar derivando a função
. Observamos que
é uma composição de funções, então vamos usar a regra da cadeia. A função externa é o logaritmo natural
, onde
e
.
Passo 3
Aplicando a regra da cadeia, a derivada de
em relação a
é:
Aqui, usamos a derivada do logaritmo natural, que é
multiplicada pela derivada de
.
Passo 4
Agora, vamos derivar
. A função chão
retorna o maior número inteiro menor ou igual ao seu argumento. No entanto, a derivada da função chão é zero onde a função é contínua e não existe nos pontos de descontinuidade (onde o argumento é exatamente um número inteiro). Para simplificar, assumiremos que
não é um número inteiro, o que significa que a derivada será zero.
Passo 5
Com isso, a derivada de
fica:
Portanto, a derivada
é igual a zero para todos os valores de
onde a derivada existe.
Resposta
A derivada da função é
para todo
onde ela está definida, e especificamente
.
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Para cada uma das funções seguintes, determine as derivadas indicadas:
,
e
Determine
supondo
e
deriváveis e
Determine a expressão de
, lembrando-se que
:
Calcule
, a partir das expressões calculadas na questão anterior.