Para cada uma das funções seguintes, determine as derivas indicadas: e

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a função . Precisamos determinar a derivada dessa função, ou seja, , e também encontrar o valor dessa derivada quando , ou seja, . Para resolver isso, vamos precisar dos conceitos de derivadas de funções compostas, propriedades do logaritmo natural, derivadas da função tangente, exponenciais e da função chão (representada por ).

Passo 2

Vamos começar derivando a função . Observamos que é uma composição de funções, então vamos usar a regra da cadeia. A função externa é o logaritmo natural , onde e .

Passo 3

Aplicando a regra da cadeia, a derivada de em relação a é:
Aqui, usamos a derivada do logaritmo natural, que é multiplicada pela derivada de .

Passo 4

Agora, vamos derivar . A função chão retorna o maior número inteiro menor ou igual ao seu argumento. No entanto, a derivada da função chão é zero onde a função é contínua e não existe nos pontos de descontinuidade (onde o argumento é exatamente um número inteiro). Para simplificar, assumiremos que não é um número inteiro, o que significa que a derivada será zero.

Passo 5

Com isso, a derivada de fica:
Portanto, a derivada é igual a zero para todos os valores de onde a derivada existe.

Resposta

A derivada da função é para todo onde ela está definida, e especificamente .

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Para cada uma das funções seguintes, determine as derivadas indicadas: , e
Determine supondo e deriváveis e
Determine a expressão de , lembrando-se que :
Calcule , a partir das expressões calculadas na questão anterior.