Calcule
, a partir das expressões calculadas na questão anterior.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é para calcular a derivada da função inversa de
no ponto
. Isso envolve a matéria de funções inversas e derivadas. Para resolver, vamos precisar da fórmula que relaciona a derivada da função inversa com a derivada da função original.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar a fórmula que liga a derivada da função inversa à derivada da função original. Se
é uma função invertível e diferenciável, então a derivada da função inversa
no ponto
é dada por:
Isso significa que para encontrar
, precisamos saber o valor de
.
Passo 3
Para aplicar essa fórmula, primeiro precisamos descobrir qual é
. Isso é, precisamos encontrar o valor de
tal que
. Vamos chamar esse valor de
, ou seja:
Passo 4
Com
em mãos, agora temos que calcular a derivada de
no ponto
, ou seja,
.
Passo 5
Depois de encontrar
, basta substituir na fórmula que vimos no Passo 2:
Resposta
Portanto, a derivada da função inversa de
no ponto
é:
Exercícios relacionados
Determine a expressão de
, lembrando-se que
:
Para cada uma das funções seguintes, determine as derivas indicadas:
e
Determine as equações das retas tangente e normal ao gráfico de
Em que ponto da curva
a reta tangente tem ângulo de inclinação
?