Calcule , a partir das expressões calculadas na questão anterior.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é para calcular a derivada da função inversa de no ponto . Isso envolve a matéria de funções inversas e derivadas. Para resolver, vamos precisar da fórmula que relaciona a derivada da função inversa com a derivada da função original.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a fórmula que liga a derivada da função inversa à derivada da função original. Se é uma função invertível e diferenciável, então a derivada da função inversa no ponto é dada por:
Isso significa que para encontrar , precisamos saber o valor de .

Passo 3

Para aplicar essa fórmula, primeiro precisamos descobrir qual é . Isso é, precisamos encontrar o valor de tal que . Vamos chamar esse valor de , ou seja:

Passo 4

Com em mãos, agora temos que calcular a derivada de no ponto , ou seja, .

Passo 5

Depois de encontrar , basta substituir na fórmula que vimos no Passo 2:

Resposta

Portanto, a derivada da função inversa de no ponto é:

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Determine a expressão de , lembrando-se que :
Para cada uma das funções seguintes, determine as derivas indicadas: e
Determine as equações das retas tangente e normal ao gráfico de
Em que ponto da curva a reta tangente tem ângulo de inclinação ?