Determine a expressão de (f^{-1})'(f(x)), lembrando-se que (f^{-1})'(f(x)) = 1/f'(x) : f(x) = x + e^x

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para determinar a expressão de (f^{-1})'(f(x)), onde . Aqui, estamos trabalhando com funções inversas e derivadas. Para resolver, vamos precisar entender como encontrar a derivada da função inversa usando a relação .

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada da função . A derivada de x em relação a x é 1, e a derivada de e^x é novamente e^x. Então,

Passo 3

Agora, usamos a relação dada no enunciado para encontrar (f^{-1})'(f(x)). A fórmula nos diz que:
Substituímos f'(x) que encontramos no passo anterior:

Resposta

A expressão de (f^{-1})'(f(x)) é .

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