Determine f'(x) supondo g e h deriváveis e f(x) = (x h(x))^3 / g(x), g(x) ≠ 0

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. A gente precisa achar a derivada de sabendo que e são funções deriváveis e que . Vamos usar algumas regras de derivação como a regra do quociente, a regra do produto e a regra da cadeia.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar da Regra do Quociente, que serve quando temos uma função na forma de fração. Se , então a derivada é:
Aqui, e . Vamos precisar derivar e .

Passo 3

Vamos derivar . Para isso, usamos a Regra da Cadeia, que é usada quando temos uma função composta. Se , então:
Aqui, e . Então,
Usamos a Regra do Produto para derivar , que dá .

Passo 4

Agora, vamos derivar . Isso é direto, já que a derivada de é .

Passo 5

Aplicando a Regra do Quociente, substituímos tudo:

Resposta

A derivada de é:

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