Para cada uma das funções a seguir, determine se
é ou não o gráfico de uma função de
em
.
.
Passo 1
Vamos começar entendendo o que o enunciado está pedindo. Temos duas conjuntos,
e
, que representam todos os números reais. O conjunto
é definido por
. Nosso objetivo é determinar se
é o gráfico de uma função que vai de
para
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o gráfico de uma função. O gráfico de uma função
é o conjunto de todos os pares ordenados
onde
está em
e
está em
. Para que
seja o gráfico de uma função, para cada valor de
em
, deve existir um único valor de
em
tal que
esteja em
.
Passo 3
Vamos analisar o conjunto
. Aqui, cada par ordenado tem o primeiro elemento
e o segundo elemento
. Queremos ver se para cada
, existe um único
tal que
.
Passo 4
Observe que
é sempre um número não negativo, ou seja,
para todo
. Portanto,
somente contém pares onde o primeiro elemento é não negativo.
Passo 5
Agora, suponha que temos um
positivo. Existem dois valores de
que satisfazem
:
e
. Isso significa que para um mesmo
, temos dois valores de
(um positivo e outro negativo).
Passo 6
Por exemplo, se
, então
ou
, resultando nos pares
e
. Isso mostra que para um único
, há mais de um
correspondente em
.
Passo 7
De acordo com a definição de função, cada
deve estar associado a um único
. Como encontramos
múltiplos para alguns
, isso viola a condição necessária para que
seja o gráfico de uma função.
Resposta
Não,
não é o gráfico de uma função de
em
, pois para alguns valores de
existem múltiplos valores de
correspondentes.
Exercícios relacionados
Para cada uma das funções a seguir, determine se
é ou não o gráfico de uma função de
em
.
.
Seja
um conjunto e seja
uma função. Prove que
não é sobrejetora. Dica: considere o conjunto
.
Para cada uma das funções a seguir, determine se
é ou não o gráfico de uma função de
em
.
.
Para cada uma das funções a seguir, determine se
é ou não o gráfico de uma função de
em
.
.