Para cada uma das funções a seguir, determine se é ou não o gráfico de uma função de em . .

Passo 1

Vamos começar entendendo o que o enunciado está pedindo. Temos duas conjuntos, e , que representam todos os números reais. O conjunto é definido por . Nosso objetivo é determinar se é o gráfico de uma função que vai de para .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o gráfico de uma função. O gráfico de uma função é o conjunto de todos os pares ordenados onde está em e está em . Para que seja o gráfico de uma função, para cada valor de em , deve existir um único valor de em tal que esteja em .

Passo 3

Vamos analisar o conjunto . Aqui, cada par ordenado tem o primeiro elemento e o segundo elemento . Queremos ver se para cada , existe um único tal que .

Passo 4

Observe que é sempre um número não negativo, ou seja, para todo . Portanto, somente contém pares onde o primeiro elemento é não negativo.

Passo 5

Agora, suponha que temos um positivo. Existem dois valores de que satisfazem : e . Isso significa que para um mesmo , temos dois valores de (um positivo e outro negativo).

Passo 6

Por exemplo, se , então ou , resultando nos pares e . Isso mostra que para um único , há mais de um correspondente em .

Passo 7

De acordo com a definição de função, cada deve estar associado a um único . Como encontramos múltiplos para alguns , isso viola a condição necessária para que seja o gráfico de uma função.

Resposta

Não, não é o gráfico de uma função de em , pois para alguns valores de existem múltiplos valores de correspondentes.

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Para cada uma das funções a seguir, determine se é ou não o gráfico de uma função de em . .
Seja um conjunto e seja uma função. Prove que não é sobrejetora. Dica: considere o conjunto .
Para cada uma das funções a seguir, determine se é ou não o gráfico de uma função de em . .
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