Para cada uma das funções a seguir, determine se é ou não o gráfico de uma função de em . .

Passo 1

Vamos começar entendendo o que o enunciado está pedindo. Temos dois conjuntos: (os números racionais) e . O conjunto é definido como . Queremos determinar se é o gráfico de uma função de em . Para isso, precisamos saber o que é o gráfico de uma função e como verificar se atende a essa definição.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o gráfico de uma função. O gráfico de uma função é o conjunto de todos os pares ordenados onde pertence a . Isso significa que para cada em , existe exatamente um em tal que .

Passo 3

Agora, vamos analisar o conjunto . Para ser o gráfico de uma função, para cada em , deve haver exatamente um em que satisfaça a equação .

Passo 4

Vamos resolver a equação para :
Isso sugere que, para cada , existe um único que satisfaz a equação. No entanto, precisamos verificar se esse também está em .

Passo 5

Considerando que e são números racionais, se é um número racional diferente de zero, então também é racional, pois a divisão de dois números racionais (exceto divisão por zero) resulta em um número racional.

Passo 6

No entanto, precisamos considerar o caso especial quando . Se , a equação não tem solução, já que qualquer número multiplicado por zero é zero, e nunca será igual a um número diferente de zero, como 1.

Passo 7

Isso significa que, para , não existe nenhum em que satisfaça a equação . Portanto, não há um par ordenado em .

Resposta

Como não existe um valor de que corresponde a , o conjunto não atribui um valor único para todos os em . Portanto, não é o gráfico de uma função de em .

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Qual das seguintes funções está bem-definida? definida pela equação para todo .