Seja um conjunto e seja uma função. Prove que não é sobrejetora. Dica: considere o conjunto .

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos um conjunto e uma função , onde é o conjunto das partes de (ou seja, o conjunto de todos os subconjuntos de ). O objetivo é provar que não é sobrejetora. Para isso, vamos precisar entender o conceito de sobrejetividade e usar o teorema de Cantor, que nos diz que não existe uma bijeção entre um conjunto e seu conjunto das partes.

Passo 2

Vamos relembrar o que significa uma função ser sobrejetora. Uma função é sobrejetora se, para todo elemento em , existe pelo menos um elemento em tal que . Ou seja, todo elemento de é atingido por algum elemento de através de .

Passo 3

Agora, vamos considerar o conjunto . Este conjunto é um subconjunto de , portanto, . Queremos mostrar que não existe nenhum tal que .

Passo 4

Vamos analisar se está na imagem da função . Suponha, para chegar a uma contradição, que existe algum tal que . Então, vamos verificar se está em ou não.

Passo 5

Por definição de , temos:
  • Se , então, por definição de , . Mas como , isso implica que , o que é uma contradição.
  • Se , então, por definição de , . Mas como , isso implica que , o que também é uma contradição.

Passo 6

Dessa forma, não podemos ter nenhum tal que . Isso significa que não está na imagem de , ou seja, não é sobrejetora.

Resposta

A função não é sobrejetora porque o conjunto não está na imagem de .

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Para cada uma das funções a seguir, determine se é ou não o gráfico de uma função de em . .
Para cada uma das funções a seguir, determine se é ou não o gráfico de uma função de em . .