Seja
um conjunto e seja
uma função. Prove que
não é sobrejetora. Dica: considere o conjunto
.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos um conjunto
e uma função
, onde
é o conjunto das partes de
(ou seja, o conjunto de todos os subconjuntos de
). O objetivo é provar que
não é sobrejetora. Para isso, vamos precisar entender o conceito de sobrejetividade e usar o teorema de Cantor, que nos diz que não existe uma bijeção entre um conjunto e seu conjunto das partes.
Passo 2
Vamos relembrar o que significa uma função ser sobrejetora. Uma função
é sobrejetora se, para todo elemento
em
, existe pelo menos um elemento
em
tal que
. Ou seja, todo elemento de
é atingido por algum elemento de
através de
.
Passo 3
Agora, vamos considerar o conjunto
. Este conjunto
é um subconjunto de
, portanto,
. Queremos mostrar que não existe nenhum
tal que
.
Passo 4
Vamos analisar se
está na imagem da função
. Suponha, para chegar a uma contradição, que existe algum
tal que
. Então, vamos verificar se
está em
ou não.
Passo 5
Por definição de
, temos:
- Se
, então, por definição de , . Mas como , isso implica que , o que é uma contradição. - Se
, então, por definição de , . Mas como , isso implica que , o que também é uma contradição.
Passo 6
Dessa forma, não podemos ter nenhum
tal que
. Isso significa que
não está na imagem de
, ou seja,
não é sobrejetora.
Resposta
A função
não é sobrejetora porque o conjunto
não está na imagem de
.
Exercícios relacionados
Determine se cada uma das funções a seguir é injetora ou não.
.
Seja
uma função e sejam
e
. Então
se, e somente se,
.
Para cada uma das funções a seguir, determine se
é ou não o gráfico de uma função de
em
.
.
Para cada uma das funções a seguir, determine se
é ou não o gráfico de uma função de
em
.
.